Polynomdivision

Bedeutung (Warum?)

Die Polynomdivision ist das schriftliche Teilen zweier Polynome – wie die schriftliche Division bei Zahlen. Man teilt nach einer geratenen Nullstelle \(x_0\) das Polynom durch \((x-x_0)\) und senkt so den Grad um \(1\).

Nutzen (Wozu?)

Eine Gleichung dritten Grades löst man nicht direkt mit der Mitternachtsformel. Man rät eine Nullstelle, dividiert sie heraus und erhält eine quadratische Restgleichung. Thema u. a. in Mathe 11. Klasse (FOS/BOS) und Mathe 10. Klasse (Gymnasium). Beim Raten kleine „schöne“ Zahlen zuerst: \(\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3\) (Teiler des Absolutglieds), meist \(-5\) bis \(5\), spätestens \(\pm 7\).

Funktionsweise (Wie?)

Höchstes Glied durch \(x\) teilen, das Ergebnis mit \((x-x_0)\) zurückmultiplizieren und subtrahieren. Dann das nächste Glied herunterholen und wiederholen, bis der Rest \(0\) ist.

Praxisbeispiel (Wo?)

\(f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6\), geraten \(x_0=1\). Die Division \((x^{3}-2x^{2}-5x+6):(x-1)=x^{2}-x-6\) sieht ausgerechnet so aus:

\( \begin{array}{rrrr} x^{3} & -2x^{2} & -5x & +6\\ -(x^{3} & -x^{2}) & & \\ \hline & -x^{2} & -5x & +6\\ & -(-x^{2} & +x) & \\ \hline & & -6x & +6\\ & & -(-6x & +6)\\ \hline & & & 0 \end{array} \)

Man liest ab: \(x^{3}:x=x^{2}\), zurückmultipliziert \(x^{2}(x-1)=x^{3}-x^{2}\), subtrahiert, nächstes Glied herunterholen – und so weiter bis Rest \(0\). Damit ist \(f(x)=(x-1)(x^{2}-x-6)\). Aus \(x^{2}-x-6=0\) folgen \(x=3\) und \(x=-2\), also \(\mathbb{L}=\{-2;\ 1;\ 3\}\). (Schneller: das Horner-Schema.)

Merksatz

Teilen, zurückmultiplizieren, subtrahieren, nächstes Glied herunterholen – bis Rest \(0\). Rest \(0\) bestätigt die geratene Nullstelle.