Bedeutung (Warum?)
Statt zu multiplizieren, teilt man: \(2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}\). Außerdem gilt \(a^{0}=1\) für jede Zahl \(a\neq 0\).
Nutzen (Wozu?)
Negative Exponenten braucht man in der wissenschaftlichen Schreibweise für sehr kleine Zahlen (\(10^{-3}=0{,}001\)) und beim Rechnen mit Potenzgesetzen.
Funktionsweise (Wie?)
Man bildet die Potenz mit dem positiven Exponenten und nimmt davon den Kehrwert.
Negativer Exponent, keine negative Zahl
\(2^{-3}\) ist \(\tfrac{1}{8}\) und positiv – nicht \(-8\). Das Minus steht am Exponenten, nicht am Ergebnis.
\(2^{-3}\) ist \(\tfrac{1}{8}\) und positiv – nicht \(-8\). Das Minus steht am Exponenten, nicht am Ergebnis.
Praxisbeispiel (Wo?)
Berechne \(2^{-3}\).
| Potenz | Wert |
|---|---|
| \(2^{2}\) | 4 |
| \(2^{1}\) | 2 |
| \(2^{0}\) | 1 |
| \(2^{-1}\) | \(\tfrac{1}{2}\) |
| \(2^{-2}\) | \(\tfrac{1}{4}\) |
Pro Stufe kleiner wird durch \(2\) geteilt – so entstehen \(2^0=1\) und die negativen Exponenten.
Rechnung — Kehrwert von 2 hoch 3.
\(2^{-3}\)
\(=\tfrac{1}{2^{3}}=\tfrac{1}{8}\)
\(=0{,}125\)
Ergebnis: \(\tfrac{1}{8}=0{,}125\)
Merksatz
Negativer Exponent = Kehrwert: \(a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}\). Außerdem \(a^0=1\) (für \(a\neq 0\)).