Der Logarithmus beantwortet die Frage: „Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um eine bestimmte Zahl zu erhalten?“ Aus \(2^x=8\) wird \(x=\log_2 8 = 3\).
Bedeutung (Warum?)
Der Logarithmus ist die dritte Umkehrung: Subtraktion kehrt die Addition um, die Wurzel das Potenzieren nach der Basis – und der Logarithmus das Potenzieren nach dem Exponenten. Ohne ihn bleibt jede Frage nach einer Laufzeit unbeantwortet.
Nutzen (Wozu?)
Überall, wo nach der Zeit gefragt wird: Wann ist das Kapital verdoppelt? Wann ist die Hälfte zerfallen? Wann erreicht die Bevölkerung eine Million?
Funktionsweise (Wie?)
Der Logarithmus wird auf beide Seiten der Gleichung angewandt. Anschließend erlaubt das Logarithmusgesetz, den Exponenten als Faktor nach vorn zu ziehen – und damit ist er freigestellt. Auf dem Taschenrechner steht lg für die Basis 10 und ln für die Basis \(e\); für die Aufgaben genügt eine davon.
\[ \log_a b = x \quad\Longleftrightarrow\quad a^x = b\qquad \lg\left(a^n\right) = n\cdot\lg a \]
Praxisbeispiel (Wo?)
Wann hat sich ein Kapital bei 3,00 % verdoppelt? Aus \(1{,}03^n = 2\) folgt \(n\cdot\lg 1{,}03 = \lg 2\), also \(n = \frac{\lg 2}{\lg 1{,}03} \approx 23{,}4\). Nach 24 Jahren ist die Verdoppelung erreicht – aufgerundet, weil Zinsen erst am Jahresende gutgeschrieben werden.
Merksatz
Gesucht der Exponent, genommen der Logarithmus. Und immer aufrunden, wenn nach ganzen Jahren gefragt ist.