Die Definitionsmenge \(D\) enthält alle Zahlen, die man in einen Term oder eine Funktion einsetzen darf. Alles, was zu einer verbotenen Rechnung führt, gehört nicht dazu.
Bedeutung (Warum?)
Drei Rechnungen sind nicht erlaubt: durch null teilen, die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen und den Logarithmus von null oder einer negativen Zahl bilden. Die Definitionsmenge sagt, welche Werte deshalb ausscheiden.
Nutzen (Wozu?)
Wer die Definitionsmenge übergeht, erhält Lösungen, die keine sind – sogenannte Scheinlösungen. In der Prüfung kostet das Punkte, auch wenn der Rechenweg stimmt.
Funktionsweise (Wie?)
Man sucht die verbotenen Stellen und schließt sie aus. Beim Bruch wird der Nenner null gesetzt und die Gleichung gelöst – diese Werte fallen weg. Bei der Wurzel muss der Radikand größer oder gleich null sein.
\[ D = \Ree \setminus \{2\} \qquad\text{oder}\qquad D = \{x \in \Ree \mid x \ge 4\} \]
Ausgefüllter Punkt heißt eingeschlossen, offener Punkt heißt ausgeschlossen
Praxisbeispiel (Wo?)
Bei \(f(x)=\frac{3}{x-2}\) darf 2 nicht eingesetzt werden, weil der Nenner sonst null wäre: \(D = \Ree \setminus \{2\}\). Bei \(g(x)=\sqrt{x-4}\) muss \(x-4 \ge 0\) gelten, also \(x \ge 4\).
Merksatz
Drei Verbote prüfen: kein Nenner null, keine Wurzel aus Negativem, kein Logarithmus von null oder weniger. Beim Ablesen am Zahlenstrahl gilt: ausgefüllter Punkt eingeschlossen, offener Punkt ausgeschlossen.