ln-Funktion

Bedeutung (Warum?)

Die ln-Funktion \(f(x)=\ln(x)\) ist der Logarithmus zur Basis \(e\) und Umkehrfunktion der e-Funktion:

\( \ln(x)=y\ \Longleftrightarrow\ e^{y}=x \)

Definitionsbereich: \(D=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}\); \(\ln(1)=0\), \(\ln(e)=1\).

Nutzen (Wozu?)

Löst Exponentialgleichungen (Wachstum/Zerfall) und leitet e-Funktionen ab (FOS/BOS 12).

Funktionsweise (Wie?)

\( \big(\ln x\big)’=\dfrac{1}{x}\qquad \ln(a\cdot b)=\ln a+\ln b \)

Praxisbeispiel (Wo?)

\(\ln(x)=2\Rightarrow x=e^{2}\approx 7{,}389\). Ableiten mit Kettenregel:

\( \frac{d}{dx}\,\ln(3x)=\frac{1}{3x}\cdot 3=\frac{1}{x} \)

Merksatz

\(\ln\) kehrt \(e^{x}\) um; nur für \(x>0\); Ableitung \(\tfrac{1}{x}\).