Bedeutung (Warum?)
Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem der Graph seine Krümmung wechselt – aus einer Rechtskurve wird eine Linkskurve (oder umgekehrt). Dort verläuft der Graph gerade am „stärksten geradlinig“.
Nutzen (Wozu?)
Der Wendepunkt gehört zu jeder vollständigen Kurvendiskussion. Er markiert die Stelle mit der größten Steigung (bzw. dem stärksten Gefälle) und wird in Anwendungen als Punkt des schnellsten Wachstums gedeutet. Thema u. a. in Mathe 11. Klasse (FOS/BOS) und Mathe 10./11. Klasse (Gymnasium).
Funktionsweise (Wie?)
Man untersucht die zweite Ableitung. Notwendige Bedingung:
\( f“(x)=0 \)
Hinreichend ist zusätzlich ein Vorzeichenwechsel von \( f“\) – nachweisbar über
\( f“(x_W)=0 \quad\text{und}\quad f“'(x_W)\neq 0. \)
Die \( y\)-Koordinate erhält man durch Einsetzen von \( x_W\) in \( f\).
Praxisbeispiel (Wo?)
Gegeben \( f(x)=x^{3}-3x^{2},\ D=\mathbb{R}\). Dann ist \( f'(x)=3x^{2}-6x\) und \( f“(x)=6x-6\). Aus \( f“(x)=0\) folgt
\( 6x-6=0 \ \Rightarrow\ x_W=1. \)
Wegen \( f“'(x)=6\neq 0\) liegt ein Wendepunkt vor. Mit \( f(1)=1-3=-2\) ergibt sich
\( W(1\mid -2). \)
Merksatz
Wendepunkt = Krümmungswechsel. Erst \( f“(x)=0\) lösen, dann mit \( f“'(x)\neq 0\) bestätigen und \( x_W\) in \( f\) einsetzen.