Kombinatorik

Bedeutung (Warum?)

Kombinatorik ist das Zählen von Möglichkeiten. Grundlage ist die Produktregel: bei \(k\) Stufen mit \(n_1,\dots,n_k\) Möglichkeiten gibt es

\( n_1\cdot n_2\cdot \dots \cdot n_k \)

Ergebnisse.

Nutzen (Wozu?)

Man bestimmt Anzahlen von Anordnungen und Auswahlen – etwa den Binomialkoeffizienten in der Binomialverteilung. Thema u. a. in Mathe 11. Klasse (FOS/BOS) und Mathe 10. Klasse (Gymnasium).

Funktionsweise (Wie?)

Zwei Fragen entscheiden über die Formel bei Auswahl von \(k\) aus \(n\): Reihenfolge wichtig? und mit Zurücklegen?

\( \text{Reihenfolge wichtig, mit Zurücklegen:}\quad n^{k} \)

\( \text{Reihenfolge wichtig, ohne Zurücklegen:}\quad \frac{n!}{(n-k)!} \)

\( \text{Reihenfolge egal, ohne Zurücklegen:}\quad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!} \)

\( \text{Reihenfolge egal, mit Zurücklegen:}\quad \binom{n+k-1}{k} \)

Sonderfälle: Permutation aller \(n\) verschiedenen Elemente \(n!\); mit gleichen Elementen Multinomialkoeffizient \(\frac{n!}{k_1!\,k_2!\cdots k_s!}\).

Praxisbeispiel (Wo?)

\( \text{Zahlenschloss, 3 Rädchen} \times 10 \text{ Ziffern:}\quad 10^{3}=1000 \)

\( \text{6 Läufer auf 6 Bahnen:}\quad 6!=720 \)

\( \text{von 5 Bands die ersten 3 Plätze:}\quad \frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!}=60 \)

\( \text{10 aus 20 T-Shirts:}\quad \binom{20}{10}=184756 \)

Merksatz

Erst klären: Reihenfolge wichtig? Mit Zurücklegen? Das führt zu genau einer der vier Formeln. \(\binom{n}{k}\) („\(n\) über \(k\)“) zählt ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen.