Krümmung

Bedeutung (Warum?)

Die Krümmung beschreibt, in welche Richtung sich ein Graph biegt: als Linkskurve (konvex, „nach oben geöffnet“) oder als Rechtskurve (konkav, „nach unten geöffnet“).

Nutzen (Wozu?)

Aus dem Krümmungsverhalten erkennt man, wo Hoch- und Tiefpunkte liegen (Tiefpunkt in einer Linkskurve, Hochpunkt in einer Rechtskurve) und wo der Graph seine Krümmung wechselt – das ist der Wendepunkt. Thema u. a. in Mathe 11. Klasse (FOS/BOS) und Mathe 10./11. Klasse (Gymnasium).

Funktionsweise (Wie?)

Über das Vorzeichen der zweiten Ableitung:

\( f“(x)>0 \ \Rightarrow\ \text{Linkskurve (konvex)} \)

\( f“(x)<0 \ \Rightarrow\ \text{Rechtskurve (konkav)} \)

Wo \( f“\) das Vorzeichen wechselt, liegt ein Wendepunkt.

Praxisbeispiel (Wo?)

Für die Normalparabel \( f(x)=x^{2},\ D=\mathbb{R}\) ist \( f“(x)=2>0\) für alle \( x\): der Graph ist überall eine Linkskurve. Für \( g(x)=-x^{2}\) ist \( g“(x)=-2<0\) – überall eine Rechtskurve.

Merksatz

\( f“>0\): Linkskurve (lächelnder Mund). \( f“<0\): Rechtskurve (trauriger Mund). Vorzeichenwechsel von \( f''\) = Wendepunkt.