Eine periodische Dezimalzahl hat hinter dem Komma eine Ziffernfolge, die sich unendlich wiederholt, z. B. \(\tfrac{1}{3}=0{,}\overline{3}\).
Bedeutung (Warum?)
Die sich wiederholende Ziffernfolge heißt Periode und wird mit einem Strich darüber geschrieben: \(0{,}\overline{3}=0{,}333\ldots\). Beim Teilen entsteht sie, wenn die Division nie „aufgeht“.
Nutzen (Wozu?)
Periodische Dezimalzahlen zeigen, dass sich jeder Bruch als Dezimalzahl schreiben lässt – manche eben unendlich, aber mit klarem Muster.
Funktionsweise (Wie?)
Man teilt Zähler durch Nenner; kehrt ein Rest wieder, beginnt die Periode.
Manche Brüche ergeben endliche Dezimalzahlen (\(\tfrac{1}{4}=0{,}25\)), andere periodische (\(\tfrac{1}{3}=0{,}\overline{3}\)). Beides sind gültige Dezimaldarstellungen.
Praxisbeispiel (Wo?)
Wandle \(\tfrac{1}{3}\) in eine Dezimalzahl um.
| Bruch | Dezimalzahl | Art |
|---|---|---|
| \(\tfrac{1}{4}\) | 0,25 | endlich |
| \(\tfrac{1}{3}\) | \(0{,}\overline{3}\) | periodisch |
| \(\tfrac{1}{6}\) | \(0{,}1\overline{6}\) | periodisch |
Brüche als Dezimalzahlen: endlich oder periodisch.
Rechnung — 1 geteilt durch 3.
Ergebnis: \(0{,}\overline{3}\)
Merksatz
Periodische Dezimalzahl: die Periode wiederholt sich unendlich, geschrieben mit Strich: \(0{,}\overline{3}\). Entsteht, wenn die Division nicht aufgeht.