Binomialverteilung

Bedeutung (Warum?)

Die Binomialverteilung gibt an, wie wahrscheinlich bei \(n\) Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) genau \(k\) Treffer auftreten:

\( P(X=k)=B(n;p;k)=\binom{n}{k}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{\,n-k} \)

Erwartungswert \(\mu=n\cdot p\).

Nutzen (Wozu?)

Damit löst man Trefferaufgaben ohne riesige Baumdiagramme. \(X\) zählt die Treffer. Thema u. a. in Mathe 11. Klasse (FOS/BOS) und Mathe 10. Klasse (Gymnasium). Beispiel: \(n=20\), \(p=0{,}2\), \(\mu=4\).

Funktionsweise (Wie?)

Vier Aufgabentypen:

\( \textbf{Typ 1 (genau } k\textbf{):}\quad P(X=k)=B(n;p;k) \)

\( \textbf{Typ 2 (höchstens } k\textbf{):}\quad P(X\le k)=\sum_{i=0}^{k} B(n;p;i)=F_{p}^{\,n}(k) \)

\( \textbf{Typ 3 (mindestens } k\textbf{):}\quad P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)=1-F_{p}^{\,n}(k-1) \)

\( \textbf{Typ 4 (von } k \textbf{ bis } g\textbf{):}\quad P(k\le X\le g)=F_{p}^{\,n}(g)-F_{p}^{\,n}(k-1) \)

Vorsicht bei der Formulierung: „höchstens fünf“ \(=X\le 5\); „weniger als fünf“ \(=X<5\), also \(X\le 4\); „mindestens vier" \(=X\ge 4\); „mehr als vier" \(=X>4\), also \(X\ge 5\).

Praxisbeispiel (Wo?)

Mit \(n=20\), \(p=0{,}2\):

\( \text{genau 3:}\quad P(X=3)=\binom{20}{3}\cdot 0{,}2^{3}\cdot 0{,}8^{17}=0{,}20536 \)

\( \text{höchstens 5:}\quad P(X\le 5)=F_{0,2}^{\,20}(5)=0{,}80421 \)

\( \text{mindestens 4:}\quad P(X\ge 4)=1-F_{0,2}^{\,20}(3)=1-0{,}41145=0{,}58855 \)

Merksatz

Alles führt auf zwei Grundtypen zurück: \(P(X=k)\) und \(P(X\le k)=F_{p}^{\,n}(k)\). „Mindestens“ und Intervalle über Gegenereignis bzw. Differenz.