Eine Exponentialfunktion hat die Form \(f(x)=c\cdot a^x\). Die Variable steht im Exponenten, nicht in der Basis – das ist der Unterschied zur Potenzfunktion.
Bedeutung (Warum?)
Exponentielles Wachstum wird immer schneller. Genau das unterschätzen Menschen zuverlässig: Bei 3,00 % Zinsen verdoppelt sich ein Kapital nicht in 33 Jahren, sondern in 24.
Nutzen (Wozu?)
Sie beschreibt Zinseszins, Bevölkerungswachstum, Wertverlust und radioaktiven Zerfall – alles, was sich in gleichen Zeitabständen um denselben Faktor ändert.
Funktionsweise (Wie?)
\(c\) ist der Startwert, \(a\) der Wachstumsfaktor. Ist \(a>1\), liegt Wachstum vor; ist \(0<a<1\), Abnahme. Um den Exponenten zu berechnen, braucht man den Logarithmus.
\[ f(x) = c\cdot a^{x} \qquad a>1:\ \text{Wachstum} \qquad 0<a<1:\ \text{Abnahme} \]
Beide starten gleich – exponentielles Wachstum wird immer steiler
Praxisbeispiel (Wo?)
Ein Kapital von 5.000,00 € zu 3,00 % wächst nach \(K(n)=5000\cdot 1{,}03^n\). Nach 10 Jahren sind es 6.719,58 €, nach 30 Jahren 12.136,31 € – mehr als das Doppelte des Zuwachses der ersten zehn Jahre.
Merksatz
Bei linearem Wachstum kommt jedes Jahr dasselbe dazu. Bei exponentiellem wird jedes Jahr mit demselben Faktor multipliziert.