Quotientenregel

Bedeutung (Warum?)

Die Quotientenregel gibt an, wie man einen Bruch aus zwei Funktionen \( \dfrac{u(x)}{v(x)}\) ableitet.

Nutzen (Wozu?)

Sie ist nötig bei gebrochen-rationalen Funktionen und allen Termen mit einem \( x\)-abhängigen Nenner. Thema u. a. in Mathe 11./12. Klasse (FOS/BOS) und Mathe 10./11. Klasse (Gymnasium).

Funktionsweise (Wie?)

Für \( f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\) mit \( v(x)\neq 0\) gilt

\( f'(x)=\dfrac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{\big(v(x)\big)^{2}}. \)

Wichtig ist die Reihenfolge im Zähler (Minus!) und das Quadrat des Nenners.

Praxisbeispiel (Wo?)

Gegeben \( f(x)=\dfrac{x}{x+1},\ D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\). Mit \( u=x,\ u’=1\) und \( v=x+1,\ v’=1\):

\( f'(x)=\dfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^{2}}=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}. \)

Merksatz

„Nenner mal Ableitung Zähler minus Zähler mal Ableitung Nenner, alles durch Nenner-Quadrat.“ Kurz: \( \dfrac{u’v-uv‘}{v^{2}}\).