Kurzfassung
Die Wurzelgesetze sagen, wie man Quadratwurzeln zusammenfasst: das Produkt der Wurzeln ist die Wurzel des Produkts.
Die Wurzelgesetze sagen, wie man Quadratwurzeln zusammenfasst: das Produkt der Wurzeln ist die Wurzel des Produkts.
Bedeutung (Warum?)
Für \(a,b\ge 0\) gilt:
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\)
\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\)
\(\sqrt{a^{2}}=a\)
Nutzen (Wozu?)
Mit den Wurzelgesetzen vereinfacht man Wurzelterme, zieht Faktoren teilweise aus der Wurzel und rechnet in der Geometrie (z. B. beim Pythagoras).
Funktionsweise (Wie?)
Man fasst Wurzeln unter einer gemeinsamen Wurzel zusammen oder zerlegt eine Wurzel in einfachere Faktoren.
Kein Wurzelgesetz für Plus
\(\sqrt{a+b}\) ist nicht \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\). Die Gesetze gelten für Mal und Geteilt, nicht für Plus und Minus.
\(\sqrt{a+b}\) ist nicht \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\). Die Gesetze gelten für Mal und Geteilt, nicht für Plus und Minus.
Praxisbeispiel (Wo?)
Fasse \(\sqrt{9}\cdot\sqrt{4}\) zusammen.
| Regel | Beispiel |
|---|---|
| \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) | \(\sqrt{9}\cdot\sqrt{4}=6\) |
| \(\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b}\) | \(\sqrt{18}:\sqrt{2}=3\) |
| \(\sqrt{a^2}=a\) | \(\sqrt{5^2}=5\) |
Die Wurzelgesetze für Mal und Geteilt.
Rechnung — Produkt unter eine Wurzel.
\(\sqrt{9}\cdot\sqrt{4}\)
\(=\sqrt{9\cdot 4}=\sqrt{36}\)
\(=6\)
Ergebnis: \(6\)
Merksatz
Wurzelgesetze (\(a,b\ge 0\)): \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\), \(\tfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\tfrac{a}{b}}\). Für Plus gibt es keins.