Kurzfassung
Zwei Größen sind umgekehrt proportional, wenn die eine so oft kleiner wird, wie die andere größer wird: doppelt so viel → halber Wert. Das Produkt \(x\cdot y\) ist konstant.
Zwei Größen sind umgekehrt proportional, wenn die eine so oft kleiner wird, wie die andere größer wird: doppelt so viel → halber Wert. Das Produkt \(x\cdot y\) ist konstant.
Bedeutung (Warum?)
Es gilt \(x\cdot y=k\). Der Graph ist eine Hyperbel – sie fällt, nähert sich aber nie den Achsen.
Nutzen (Wozu?)
Typisch: mehr Arbeiter → weniger Zeit; höhere Geschwindigkeit → kürzere Fahrzeit; mehr Personen → kleinerer Anteil.
Funktionsweise (Wie?)
Man bildet das konstante Produkt \(k=x\cdot y\) aus einem bekannten Paar und teilt dann durch den gesuchten Wert.
Nicht mit direkt proportional verwechseln
Direkt proportional heißt „mehr → mehr“ (\(\tfrac{y}{x}\) konstant). Umgekehrt proportional heißt „mehr → weniger“ (\(x\cdot y\) konstant). Zuerst klären, welcher Fall vorliegt.
Direkt proportional heißt „mehr → mehr“ (\(\tfrac{y}{x}\) konstant). Umgekehrt proportional heißt „mehr → weniger“ (\(x\cdot y\) konstant). Zuerst klären, welcher Fall vorliegt.
Praxisbeispiel (Wo?)
\(4\) Arbeiter brauchen \(6\) Tage. Wie lange brauchen \(3\) Arbeiter?
Rechnung — Produkt konstant: k = 4·6, dann durch 3.
\(k=x\cdot y=4\cdot 6=24\)
\(y=\tfrac{k}{x}=\tfrac{24}{3}\)
\(=8\ \text{Tage}\)
Ergebnis: \(8\ \text{Tage}\)
Merksatz
Umgekehrt proportional: \(x\cdot y=k\) konstant (mehr → weniger), Graph eine Hyperbel.