Kurzfassung
Zwei Größen sind umgekehrt proportional, wenn die eine so oft kleiner wird, wie die andere größer wird: doppelt so viel → halber Wert. Das Produkt \(x\cdot y\) ist konstant.
Zwei Größen sind umgekehrt proportional, wenn die eine so oft kleiner wird, wie die andere größer wird: doppelt so viel → halber Wert. Das Produkt \(x\cdot y\) ist konstant.
Bedeutung (Warum?)
Es gilt \(x\cdot y=k\). Der Graph ist eine Hyperbel – sie fällt, nähert sich aber nie den Achsen.
Nutzen (Wozu?)
Typisch: mehr Arbeiter → weniger Zeit; höhere Geschwindigkeit → kürzere Fahrzeit; mehr Personen → kleinerer Anteil.
Funktionsweise (Wie?)
Man bildet das konstante Produkt \(k=x\cdot y\) aus einem bekannten Paar und teilt dann durch den gesuchten Wert.
Nicht mit direkt proportional verwechseln
Direkt proportional heißt „mehr → mehr“ (\(\tfrac{y}{x}\) konstant). Umgekehrt proportional heißt „mehr → weniger“ (\(x\cdot y\) konstant). Zuerst klären, welcher Fall vorliegt.
Direkt proportional heißt „mehr → mehr“ (\(\tfrac{y}{x}\) konstant). Umgekehrt proportional heißt „mehr → weniger“ (\(x\cdot y\) konstant). Zuerst klären, welcher Fall vorliegt.
Praxisbeispiel (Wo?)
\(4\) Arbeiter brauchen \(6\) Tage. Wie lange brauchen \(3\) Arbeiter?
\(x\cdot y\) bleibt konstant.
Rechnung
Produkt konstant: k = 4·6, dann durch 3.
\(k=x\cdot y=4\cdot 6=24\)
\(y=\tfrac{k}{x}=\tfrac{24}{3}\)
\(=8\ \text{Tage}\)
Ergebnis: \(8\ \text{Tage}\)
Merksatz
Umgekehrt proportional: \(x\cdot y=k\) konstant (mehr → weniger), Graph eine Hyperbel.
Selbst üben
Der Aufgabengenerator ist eine Übungsplattform mit vielen Themen. Ist das gesuchte Thema in der Liste vorhanden, lassen sich dort beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg erzeugen. Zum Aufgabengenerator.
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