Bedeutung (Warum?)
Die Vierfeldertafel ordnet die Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse \(E_1,E_2\) und ihrer Verknüpfungen übersichtlich an. Zeilen- und Spaltensummen ergeben die Randwahrscheinlichkeiten, die Gesamtsumme ist \(1\):
| \(E_1\) | \(\overline{E}_1\) | Summe | |
| \(E_2\) | \(P(E_1\cap E_2)\) | \(P(\overline{E}_1\cap E_2)\) | \(P(E_2)\) |
| \(\overline{E}_2\) | \(P(E_1\cap \overline{E}_2)\) | \(P(\overline{E}_1\cap \overline{E}_2)\) | \(P(\overline{E}_2)\) |
| Summe | \(P(E_1)\) | \(P(\overline{E}_1)\) | \(1\) |
Nutzen (Wozu?)
Aus wenigen bekannten Werten berechnet man alle übrigen und prüft Ereignisse auf stochastische Unabhängigkeit. Aus der Tafel lassen sich auch bedingte Wahrscheinlichkeiten ablesen (siehe Begriff „Bedingte Wahrscheinlichkeit“). Thema u. a. in Mathe FOS/BOS und Gymnasium (Stochastik).
Additionsregel (Satz von Sylvester):
\( P(E_1\cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)-P(E_1\cap E_2) \)
Bei unvereinbaren Ereignissen (\(P(E_1\cap E_2)=0\)) gilt \(P(E_1\cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)\).
Stochastische Unabhängigkeit genau dann, wenn
\( P(E_1\cap E_2)=P(E_1)\cdot P(E_2). \)
Funktionsweise (Wie?)
Bekannte Werte eintragen; die restlichen Felder ergeben sich, weil jede Zeile und Spalte in der Summe stimmen muss (Gesamtsumme \(1\)).
Praxisbeispiel (Wo?)
Klasse mit \(24\) Schülern: \(10\) Englischprofis (\(E\)), \(18\) Matheprofis (\(M\)), \(3\) in beiden schwach. Bekannt \(P(E)=\tfrac{10}{24}\), \(P(M)=\tfrac{18}{24}\), \(P(\overline{E}\cap\overline{M})=\tfrac{3}{24}\). Ausgefüllt:
| \(E\) | \(\overline{E}\) | Summe | |
| \(M\) | \(\tfrac{7}{24}\) | \(\tfrac{11}{24}\) | \(\tfrac{18}{24}\) |
| \(\overline{M}\) | \(\tfrac{3}{24}\) | \(\tfrac{3}{24}\) | \(\tfrac{6}{24}\) |
| Summe | \(\tfrac{10}{24}\) | \(\tfrac{14}{24}\) | \(1\) |
Unabhängigkeit: \(P(E)\cdot P(M)=\tfrac{10}{24}\cdot\tfrac{18}{24}=\tfrac{5}{16}\), aber \(P(E\cap M)=\tfrac{7}{24}\). Wegen \(\tfrac{5}{16}\neq\tfrac{7}{24}\) sind \(E\) und \(M\) stochastisch abhängig.
Merksatz
Zeilen- und Spaltensummen stimmen, Gesamtsumme \(1\). Unabhängig genau dann, wenn \(P(E_1\cap E_2)=P(E_1)\cdot P(E_2)\).