Extremstelle

Bedeutung (Warum?)

Eine Extremstelle ist eine \(x\)-Stelle mit Hoch- oder Tiefpunkt; dort ist die Tangente waagrecht, also \(f'(x)=0\).

Nutzen (Wozu?)

Grundlage für Kurvendiskussion und Extremwertaufgaben (FOS/BOS 12).

Funktionsweise (Wie?)

Notwendig: \(f'(x)=0\). Hinreichend über \(f“\):

\( f“(x_0)<0\ \Rightarrow\ \text{Hochpunkt}\qquad f''(x_0)>0\ \Rightarrow\ \text{Tiefpunkt} \)

Praxisbeispiel (Wo?)

\(f(x)=x^{3}-3x\), \(f'(x)=3x^{2}-3\), \(f“(x)=6x\):

\( f'(x)=0\ \Rightarrow\ x=\pm 1 \)

\(f“(-1)=-6<0\) → Hochpunkt \((-1\,|\,2)\); \(f''(1)=6>0\) → Tiefpunkt \((1\,|\,-2)\).

Merksatz

Erst \(f’=0\), dann \(f“\) prüfen; \(y\)-Wert in \(f\) einsetzen.