Eine Äquivalenzumformung ist eine Umformung, die die Lösungsmenge einer Gleichung nicht verändert: auf beiden Seiten dasselbe addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren.
Bedeutung (Warum?)
Der Zusatz „auf beiden Seiten“ ist das Entscheidende. Wer nur links rechnet, zerstört die Gleichung – das Ergebnis ist dann zufällig richtig oder falsch.
Nutzen (Wozu?)
Äquivalenzumformungen sind das einzige Werkzeug zum Lösen von Gleichungen. Alles andere ist Anwendung davon.
Funktionsweise (Wie?)
Jeder Schritt steht in einer eigenen Zeile. Links davor steht der Äquivalenzpfeil \(\Longleftrightarrow\) – er sagt: Die neue Zeile hat dieselbe Lösung wie die alte. Rechts wird notiert, was gemacht wurde. Beides gehört zur Darstellung und wird in der Prüfung bewertet. Eine Ausnahme gibt es: Durch null darf nie geteilt werden.
\[ \begin{array}{r@{\;}c@{\;}l@{\qquad}l} & 3x+5 &= 17 & |\;-5 \\ \Longleftrightarrow & 3x &= 12 & |\;:3 \\ \Longleftrightarrow & x &= 4 & \end{array} \]
Praxisbeispiel (Wo?)
Bei \(\frac{x}{4}+2=7\) wird zuerst 2 abgezogen, dann mit 4 multipliziert: \(x=20\). Die Probe: \(\frac{20}{4}+2=7\) ✓
Merksatz
Jede Umformung eine eigene Zeile, Äquivalenzpfeil links, Umformung rechts.