Eine Äquivalenzumformung verändert eine Gleichung, ohne ihre Lösungsmenge zu ändern – man tut auf beiden Seiten dasselbe. Jeder Schritt ist eine Äquivalenz, geschrieben mit dem Pfeil \(\Leftrightarrow\).
Bedeutung (Warum?)
Man stellt sich eine Gleichung wie eine Waage im Gleichgewicht vor: Was man auf der einen Seite tut, muss man genauso auf der anderen tun, sonst kippt die Waage. Erlaubt sind: auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren, mit derselben Zahl (\(\neq 0\)) multiplizieren oder dividieren. Weil sich die Lösungsmenge dabei nicht ändert, verbindet man die Zeilen mit dem Äquivalenzpfeil \(\Leftrightarrow\).
Nutzen (Wozu?)
Mit Äquivalenzumformungen löst man lineare Gleichungen Schritt für Schritt nach der Unbekannten auf.
Funktionsweise (Wie?)
Ziel ist, die Variable allein auf eine Seite zu bringen. Die Rechenanweisung notiert man am Rand der Zeile, auf die man sie anwendet (z. B. \(|+3\), \(|:2\)). Das Ergebnis steht in der nächsten Zeile, verbunden mit \(\Leftrightarrow\).
Praxisbeispiel (Wo?)
Löse \(2x-3=7\).
Ergebnis: \(x=5\)
Probe
\(x=5\) einsetzen.
Ergebnis: \(\mathrm{I\!L}=\{5\}\)
Merksatz
Äquivalenzumformung = auf beiden Seiten dasselbe tun (Waage im Gleichgewicht). Die Rechenanweisung steht neben der Zeile, auf die sie wirkt; die Zeilen verbindet der Pfeil \(\Leftrightarrow\). Die Lösungsmenge bleibt gleich – Probe nicht vergessen.
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