Hypothesentest

Bedeutung (Warum?)

Beim Hypothesentest (Signifikanztest) wird geprüft, ob eine Vermutung über eine Wahrscheinlichkeit angenommen oder verworfen wird. Da der Zufall keine Sicherheit erlaubt, entscheidet man anhand einer Stichprobe. Begriffe: Nullhypothese \(H_0\) (mit \(p_0\)), Gegenhypothese \(H_1\) (mit \(p_1\)), Stichprobenlänge \(n\), Testgröße \(T\), Annahmebereich \(A\) und Ablehnungsbereich \(\overline{A}\). Der Erwartungswert \(E(T)=n\cdot p\) liegt immer im Annahmebereich.

Nutzen (Wozu?)

Man trifft aus einer Stichprobe eine begründete Entscheidung über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit. Ein Test ist kein Beweis. Thema u. a. in Mathe 12. Klasse (FOS/BOS).

Funktionsweise (Wie?) – links-, rechts- und beidseitig

Entscheidend ist, auf welcher Seite des Erwartungswertes die Gegenhypothese liegt – daraus folgt, wo der Ablehnungsbereich liegt:

Rechtsseitig (\(H_1:\ p>p_0\)): Man vermutet mehr Treffer. Der Ablehnungsbereich liegt rechts, \(\overline{A}=\{k;\dots;n\}\). Bedingung:

\( P(T\ge k)\le\alpha\ \Longleftrightarrow\ 1-F_{p_0}^{\,n}(k-1)\le\alpha\ \Longleftrightarrow\ F_{p_0}^{\,n}(k-1)\ge 1-\alpha \)

Linksseitig (\(H_1:\ pweniger Treffer. Der Ablehnungsbereich liegt links, \(\overline{A}=\{0;\dots;k\}\). Bedingung:

\( P(T\le k)\le\alpha\ \Longleftrightarrow\ F_{p_0}^{\,n}(k)\le\alpha \)

Beidseitig (\(H_1:\ p\neq p_0\)): Abweichung in beide Richtungen; der Ablehnungsbereich liegt auf beiden Seiten mit je \(\tfrac{\alpha}{2}\).

Fehlerarten: Fehler 1. Art (\(\alpha\)-Fehler)
\(H_0\) wird abgelehnt, obwohl richtig. Fehler 2. Art (\(\beta\)-Fehler)
\(H_0\) wird angenommen, obwohl falsch. Das Signifikanzniveau \(\alpha\) ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art.

Praxisbeispiel (Wo?)

Rechtsseitig – Bahn: Die Bahn behauptet \(10\,\%\) Verspätung, ein Fahrgast vermutet mehr. \(n=100\), \(\alpha=5\,\%\), \(H_0:\ p\le 0{,}1\), \(\mu=10\).

\( F_{0,1}^{\,100}(k-1)\ge 0{,}95\ \Rightarrow\ k-1=15\ \Rightarrow\ k=16 \)

Also \(A=\{0;\dots;15\}\), \(\overline{A}=\{16;\dots;100\}\).

Linksseitig – Umfrage: Eva hatte \(60\,\%\) Zustimmung; vermutet wird weniger. \(n=200\), \(\alpha=5\,\%\), \(H_0:\ p\ge 0{,}6\), \(\mu=120\).

\( F_{0,6}^{\,200}(k)\le 0{,}05\ \Rightarrow\ k=108 \)

Also \(\overline{A}=\{0;\dots;108\}\), \(A=\{109;\dots;200\}\). Bei \(55\,\%\) (110 Personen) wird \(H_0\) nicht abgelehnt.

Merksatz

Liegt \(H_1\) über \(p_0\) → rechtsseitig (\(P(T\ge k)\)); liegt \(H_1\) unter \(p_0\) → linksseitig (\(P(T\le k)\)); \(p\neq p_0\) → beidseitig (\(\alpha\) aufteilen). Der Erwartungswert liegt stets im Annahmebereich.