Lineare (Un-)Abhängigkeit

Bedeutung (Warum?)

Vektoren sind linear unabhängig, wenn sich keiner als Kombination der anderen darstellen lässt – sonst abhängig.

Nutzen (Wozu?)

Entscheidet, ob Vektoren eine Ebene/den Raum aufspannen – wichtig für Ebenen und Basen (FOS/BOS Technik).

Funktionsweise (Wie?)

Drei Vektoren im \(\mathbb{R}^3\) sind genau dann unabhängig, wenn die aus ihnen gebildete Determinante nicht null ist:

\( \det(\vec{a},\vec{b},\vec{c})\neq 0\ \Longleftrightarrow\ \text{linear unabhängig} \)

Praxisbeispiel (Wo?)

\(\vec a=(1;0;0),\ \vec b=(0;1;0),\ \vec c=(1;1;2)\):

\( \det=2\neq 0\ \Rightarrow\ \text{linear unabhängig} \)

Wäre die Determinante \(0\), lägen die Vektoren in einer Ebene (abhängig).

Merksatz

Determinante \(\neq 0\) → unabhängig (spannt den Raum auf); \(=0\) → abhängig.