Eine quadratische Pyramide hat ein Quadrat als Grundfläche und vier gleichschenklige Dreiecke als Seitenflächen, die in einer Spitze zusammenlaufen.
Eine quadratische Pyramide hat ein Quadrat als Grundfläche und vier gleichschenklige Dreiecke als Seitenflächen, die in einer Spitze zusammenlaufen.
Bedeutung (Warum?)
Bei Pyramide und Kegel steht der Faktor \(\frac{1}{3}\) in der Volumenformel. Anschaulich: Drei gleich große Pyramiden füllen genau ein Prisma mit derselben Grundfläche und Höhe.
Nutzen (Wozu?)
Pyramidenformen treten bei Dächern, Trichtern und Schüttkegeln auf. Rechnerisch sind sie die Standardaufgabe, in der der Satz des Pythagoras zweimal gebraucht wird.
Funktionsweise (Wie?)
Zwei Höhen sind zu unterscheiden: die Körperhöhe \(h\) von der Spitze senkrecht zur Grundfläche, und die Seitenhöhe \(h_a\) in der Mitte einer Seitenfläche. Beide hängen über Pythagoras zusammen.
\[ V = \frac{1}{3}\,a^2 h \qquad h_a = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \qquad M = 2\,a\,h_a \]
Gerade quadratische Pyramide: Körperhöhe h und Seitenhöhe hₛ
Praxisbeispiel (Wo?)
Ein Zeltdach über einem Quadrat von 6 m Seitenlänge ist 4 m hoch. Sein Volumen ist \(\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4 = 48\) m³. Für die Dachhaut zählt die Seitenhöhe \(h_a=\sqrt{16+9}=5\) m, also \(2\cdot 6\cdot 5 = 60\) m².
Merksatz
Körperhöhe für das Volumen, Seitenhöhe für den Mantel. Nie verwechseln.
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