Kurzfassung
Eine Kugel besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt denselben Abstand \(r\) haben. Oberfläche \(O=4\pi r^2\), Volumen \(V=\tfrac{4}{3}\pi r^3\).
Eine Kugel besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt denselben Abstand \(r\) haben. Oberfläche \(O=4\pi r^2\), Volumen \(V=\tfrac{4}{3}\pi r^3\).
Bedeutung (Warum?)
Die Kugel ist der räumliche „Kreis“: nur der Radius \(r\) bestimmt sie vollständig. Beide Formeln – Oberfläche und Volumen – hängen allein von \(r\) ab.
Nutzen (Wozu?)
Kugelformen sind Bälle, Planeten, Tanks und Tropfen. Mit den Formeln berechnet man ihre Oberfläche (Materialbedarf) und ihr Volumen (Inhalt).
Funktionsweise (Wie?)
Man setzt den Radius in die beiden Formeln ein.
Praxisbeispiel (Wo?)
Eine Kugel hat den Radius \(r=3\,\text{cm}\).
a) Oberfläche
4 mal π mal r².
\(O\)
\(=4\pi r^2\)
\(=4\pi\cdot 3^2\)
\(=36\pi\ \text{cm}^2\approx 113{,}1\,\text{cm}^2\)
Ergebnis: \(O\approx 113{,}1\,\text{cm}^2\)
b) Volumen
Vier Drittel mal π mal r³.
\(V\)
\(=\tfrac{4}{3}\pi r^3\)
\(=\tfrac{4}{3}\pi\cdot 3^3\)
\(=36\pi\ \text{cm}^3\approx 113{,}1\,\text{cm}^3\)
Ergebnis: \(V\approx 113{,}1\,\text{cm}^3\)
Merksatz
Kugel: Oberfläche \(O=4\pi r^2\), Volumen \(V=\tfrac{4}{3}\pi r^3\) – beides hängt nur vom Radius \(r\) ab.
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