Eine quadratische Gleichung hat die Form \(ax^2+bx+c=0\) (mit \(a\neq 0\)). Sie hat höchstens zwei Lösungen.
Bedeutung (Warum?)
Man löst sie mit der Lösungsformel:
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
Der Ausdruck \(D=b^2-4ac\) heißt Diskriminante: bei \(D>0\) gibt es zwei Lösungen, bei \(D=0\) eine, bei \(D<0\) keine (in \(\mathrm{I\!R}\)). In der Form \(x^2+px+q=0\) nutzt man die pq-Formel.
Nutzen (Wozu?)
Quadratische Gleichungen liefern die Nullstellen quadratischer Funktionen und lösen viele Sach- und Prüfungsaufgaben (Flächen, Wurfbahnen).
Funktionsweise (Wie?)
Zuerst auf die Form \(=0\) bringen, dann \(a,b,c\) ablesen und einsetzen.
Vor dem Einsetzen muss auf einer Seite \(0\) stehen. Außerdem muss \(a\neq 0\) sein – sonst ist die Gleichung nicht quadratisch, sondern linear.
Praxisbeispiel (Wo?)
Löse \(x^2-5x+6=0\) \((a=1,\ b=-5,\ c=6)\).
Rechnung
Diskriminante berechnen, dann einsetzen.
Ergebnis: \(\mathrm{I\!L}=\{2;\,3\}\)
Merksatz
Quadratische Gleichung \(ax^2+bx+c=0\): erst auf \(0\) bringen, dann Lösungsformel. Diskriminante \(D=b^2-4ac\) sagt die Zahl der Lösungen.
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