Eine Polstelle ist eine Definitionslücke, an der die Funktionswerte gegen \(\pm\infty\) streben; dort liegt eine senkrechte Asymptote.
Bedeutung (Warum?)
Bei \(f(x)=\tfrac{Z(x)}{N(x)}\) wird an einer Polstelle der Nenner null, der Zähler aber nicht – der Betrag von \(f\) wächst unbeschränkt.
Nutzen (Wozu?)
Polstellen liefern die senkrechten Asymptoten und beschreiben das Randverhalten der Definitionsmenge. Ihre Ordnung entscheidet über den Vorzeichenwechsel.
Funktionsweise (Wie?)
\(x_0\) ist Polstelle, wenn \(N(x_0)=0\) und \(Z(x_0)\neq0\). Ungerade Ordnung → mit Vorzeichenwechsel; gerade Ordnung → ohne. Grenzverhalten:
\(\lim\limits_{x\to1^-}\tfrac{1}{x-1}=-\infty,\qquad \lim\limits_{x\to1^+}\tfrac{1}{x-1}=+\infty\)
Praxisbeispiel (Wo?)
\(f(x)=\tfrac{1}{x-1}\) hat bei \(x=1\) eine Polstelle der Ordnung \(1\) (mit Vorzeichenwechsel).
Merksatz
Nenner null, Zähler nicht → Polstelle; die Ordnung entscheidet über den Vorzeichenwechsel.
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