Bernoulli-Kette

Bedeutung (Warum?)

Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei Ausgänge: Treffer (Wahrscheinlichkeit \(p\)) und Niete (\(q=1-p\)). Wiederholt man es \(n\)-mal unter gleichen Bedingungen (\(p\) konstant, unabhängig), ist das eine Bernoulli-Kette der Länge \(n\).

Nutzen (Wozu?)

Sie beschreibt, wie wahrscheinlich eine bestimmte Trefferzahl bei \(n\) Wiederholungen ist – die Grundlage der Binomialverteilung. Thema u. a. in Mathe 11. Klasse (FOS/BOS) und Mathe 10. Klasse (Gymnasium). Beispiel: Jeder Gast bestellt unabhängig mit \(p=0{,}2\) vegetarisch (\(V\)), sonst \(N\) (\(q=0{,}8\)).

Funktionsweise (Wie?)

Bei fester Reihenfolge multipliziert man die Einzelwahrscheinlichkeiten entlang des Pfades. Für \(V\,V\,N\,N\,N\):

\( P = 0{,}2\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8\cdot 0{,}8\cdot 0{,}8 = 0{,}2^{2}\cdot 0{,}8^{3}=0{,}02048 \)

Ist die Reihenfolge egal, hat jede Anordnung dieselbe Wahrscheinlichkeit; man multipliziert zusätzlich mit der Anzahl der Anordnungen – das führt zur Binomialverteilung.

Praxisbeispiel (Wo?)

„Genau zwei der nächsten fünf Gäste bestellen vegetarisch“ hat \(\binom{5}{2}=10\) Anordnungen:

\( P=\binom{5}{2}\cdot 0{,}2^{2}\cdot 0{,}8^{3}=10\cdot 0{,}2^{2}\cdot 0{,}8^{3}=0{,}08192. \)

Merksatz

Zwei Ausgänge, festes \(p\), \(n\) unabhängige Wiederholungen. Feste Reihenfolge = nur multiplizieren; beliebige Reihenfolge = zusätzlich mit dem Binomialkoeffizienten malnehmen.