Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedeutung (Warum?)

Die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(A\mid B)\) ist die Wahrscheinlichkeit für \(A\) unter der Bedingung, dass \(B\) bereits eingetreten ist:

\( P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\qquad (P(B)>0) \)

Nutzen (Wozu?)

Sie beschreibt, wie sich eine Wahrscheinlichkeit ändert, wenn eine Zusatzinformation bekannt ist. Sie ist die Grundlage der Pfadregeln im Baumdiagramm und hängt eng mit der Vierfeldertafel und der Unabhängigkeit zusammen. Thema u. a. in Mathe FOS/BOS und Gymnasium (Stochastik).

Funktionsweise (Wie?)

Durch Umstellen erhält man die Pfadregel (entlang eines Pfades multiplizieren):

\( P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A\mid B) \)

Im Baumdiagramm steht \(P(B)\) an der ersten Stufe und \(P(A\mid B)\) an der zweiten. Zusammenhang mit Unabhängigkeit: \(A\) und \(B\) sind unabhängig genau dann, wenn \(P(A\mid B)=P(A)\).

Praxisbeispiel (Wo?)

In der Klasse aus der Vierfeldertafel (\(24\) Schüler): Wie wahrscheinlich ist ein Matheprofi \(M\), wenn der Schüler Englischprofi \(E\) ist?

\( P(M\mid E)=\dfrac{P(M\cap E)}{P(E)}=\dfrac{\tfrac{7}{24}}{\tfrac{10}{24}}=\dfrac{7}{10}=0{,}7 \)

Unter den Englischprofis sind also \(70\,\%\) auch Matheprofis. Da \(P(M)=\tfrac{18}{24}=0{,}75\neq 0{,}7=P(M\mid E)\), sind \(E\) und \(M\) abhängig.

Merksatz

\(P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\). Im Baumdiagramm ist \(P(A\mid B)\) die Wahrscheinlichkeit an der zweiten Stufe. Gleich \(P(A)\) → unabhängig.