Bedeutung (Warum?)Monotonie sagt, ob eine Funktion steigt oder fällt – über das Vorzeichen der Ableitung:\( f'(x)>0\ \Rightarrow\ \text{steigend}\qquad f'(x)Nutzen (Wozu?)Zeigt den Kurvenverlauf und bestätigt Extremstell
Bedeutung (Warum?)
Monotonie sagt, ob eine Funktion steigt oder fällt – über das Vorzeichen der Ableitung:
\( f'(x)>0\ \Rightarrow\ \text{steigend}\qquad f'(x)<0\ \Rightarrow\ \text{fallend} \)
Nutzen (Wozu?)
Zeigt den Kurvenverlauf und bestätigt Extremstellen (Vorzeichenwechsel von \(f’\)); FOS/BOS 12.
Funktionsweise (Wie?)
\(f'(x)=0\) setzen; die Nullstellen teilen \(\mathbb{R}\) in Intervalle, in jedem einen Testwert in \(f’\) einsetzen (Monotonietabelle).
Praxisbeispiel (Wo?)
\(f(x)=x^{3}-3x\), \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\), Nullstellen \(\pm 1\):
\( f'(0)=-3<0\ \text{(fallend)}\qquad f'(2)=9>0\ \text{(steigend)} \)
Steigend auf \((-\infty;-1)\), fallend auf \((-1;1)\), steigend auf \((1;\infty)\).
Merksatz
\(f’\) positiv = steigend, negativ = fallend; Vorzeichenwechsel = Extremstelle.
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