Bedeutung (Warum?)
Das Horner-Schema ist eine Tabelle, mit der man ein Polynom an einer Stelle \(x_0\) schnell auswertet und zugleich durch \((x-x_0)\) dividiert. Die letzte Zahl ist der Funktionswert \(f(x_0)\); ist sie \(0\), so ist \(x_0\) eine Nullstelle.
Nutzen (Wozu?)
Man prüft damit, ob eine geratene Zahl \(x_0\) eine Nullstelle ist, bestimmt das Restpolynom (Grad um \(1\) senken) und berechnet Funktionswerte. Thema u. a. in Mathe 11. Klasse (FOS/BOS) und Mathe 10. Klasse (Gymnasium).
Funktionsweise (Wie?)
Koeffizienten in die obere Zeile (fehlende Glieder als \(0\)). Erste Zahl herunterholen, mit \(x_0\) multiplizieren, in die nächste Spalte, addieren – bis zum Ende. Für \(f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6\) mit \(x_0=1\):
| \(1\) | \(-2\) | \(-5\) | \(6\) | |
| \(x_0=1\) | \(1\) | \(-1\) | \(-6\) | |
| Summe | \(1\) | \(-1\) | \(-6\) | \(0\) |
Die untere Zeile liefert die Koeffizienten des Restpolynoms \(x^{2}-x-6\); die letzte Zahl ist der Rest bzw. \(f(x_0)\).
Praxisbeispiel (Wo?)
Für \(x_0=1\) ist die letzte Zahl \(0\), also \(f(1)=0\): \(x_0=1\) ist Nullstelle, und es gilt
\( f(x)=(x-1)\,(x^{2}-x-6). \)
Die restlichen Nullstellen folgen aus \(x^{2}-x-6=0\) zu \(x=3\) und \(x=-2\). Für \(x_0=2\) erhielte man als letzte Zahl \(-4\); wegen \(f(2)=-4\neq 0\) ist \(2\) keine Nullstelle.
Merksatz
Erste Zahl herunter, dann immer „mal \(x_0\), addieren“. Die letzte Zahl ist \(f(x_0)\) – ist sie \(0\), hast du eine Nullstelle.