Eine Potenz ist die Kurzschreibweise für eine wiederholte Multiplikation: \(a^n\) bedeutet, dass \(a\) genau \(n\)-mal mit sich selbst multipliziert wird. Dabei heißt \(a\) die Basis und \(n\) der Exponent.
Bedeutung (Warum?)
Potenzen beschreiben Wachstum, das sich vervielfacht statt gleichmäßig zu steigen. Zinseszins, Bevölkerungswachstum und radioaktiver Zerfall sind ohne Potenzen nicht darstellbar.
Nutzen (Wozu?)
Sie verkürzen Schreibweisen und machen sehr große und sehr kleine Zahlen handhabbar. Ohne Zehnerpotenzen wäre keine Naturwissenschaft möglich.
Funktionsweise (Wie?)
Beim Multiplizieren gleicher Basen werden die Exponenten addiert, beim Dividieren subtrahiert. Diese Regeln heißen Potenzgesetze.
\[ a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ Faktoren}}\qquad a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]
Praxisbeispiel (Wo?)
Ein Kapital von 1.000,00 € zu 3,00 % wächst in 20 Jahren auf \(1000\cdot 1{,}03^{20} = 1806{,}11\) €. Ohne Potenz müsste man zwanzigmal nacheinander multiplizieren.
Merksatz
Der Exponent zählt die Faktoren, nicht das Ergebnis. \(2^3\) ist 8, nicht 6.