Bedeutung (Warum?)
Faktorisieren heißt, ein Polynom als Produkt zu schreiben. Als Produkt liest man die Nullstellen direkt ab – dank des Satzes vom Nullprodukt:
\( a\cdot b=0\ \Longleftrightarrow\ a=0\ \text{oder}\ b=0. \)
Nutzen (Wozu?)
Faktorisieren ist oft der schnellste Weg zu den Nullstellen – ohne Formel, ohne Division. Man nutzt es, wenn man \(x\) ausklammern kann oder eine binomische Formel erkennt. Thema u. a. in Mathe 11. Klasse (FOS/BOS) und Mathe 10. Klasse (Gymnasium).
Funktionsweise (Wie?)
Zuerst prüfen, ob alle Summanden ein gemeinsames \(x\) (oder einen gemeinsamen Faktor) enthalten, und dieses ausklammern. Danach wird ein Faktor \(0\), wenn er selbst \(0\) ist; jeder Faktor liefert eine Nullstelle.
Praxisbeispiel (Wo?)
Für \(f(x)=x^{3}-2x^{2}-3x\) klammert man \(x\) aus:
\( x^{3}-2x^{2}-3x=x\,(x^{2}-2x-3)=0 \)
\( x=0\quad\text{oder}\quad x^{2}-2x-3=0 \)
Die quadratische Gleichung ergibt \(x=3\) und \(x=-1\); zusammen \(\mathbb{L}=\{-1;\ 0;\ 3\}\). Weitere Fälle:
\( x^{2}-9=(x-3)(x+3),\qquad 2x^{2}-8x=2x\,(x-4). \)
Merksatz
Erst ausklammern oder binomische Formel, dann jeden Faktor null setzen. Das ausgeklammerte \(x\) liefert die Nullstelle \(x=0\) – oft vergessen!