Die binomischen Formeln zeigen, wie man eine Klammer aus zwei Gliedern schnell quadriert oder ein Produkt aus Summe und Differenz auflöst.
Bedeutung (Warum?)
Es gibt drei Formeln:
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
Das mittlere Glied \(2ab\) ist der häufigste Fehler – es wird gern vergessen.
Nutzen (Wozu?)
Mit ihnen rechnet man Klammern im Kopf aus, faktorisiert Terme und vereinfacht Bruchterme – die Grundlage für viele Umformungen in der Algebra.
Funktionsweise (Wie?)
Die \(1.\) Formel entspricht der Fläche eines Quadrats mit der Seite \(a+b\): sie zerfällt in vier Teilflächen \(a^2\), \(a\cdot b\), \(a\cdot b\) und \(b^2\).
\((a+b)^2\) ist nicht \(a^2+b^2\), sondern \(a^2+2ab+b^2\). Das doppelte Produkt \(2ab\) gehört immer dazu.
Praxisbeispiel (Wo?)
Berechne \((3+2)^2\) auf zwei Wegen und vergleiche.
Direkt
Erst die Klammer, dann quadrieren.
Ergebnis: \(25\)
Mit der 1. Formel
a=3, b=2 einsetzen.
Ergebnis: \(25\)
Merksatz
\((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\) und \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Das mittlere Glied \(2ab\) nie vergessen.
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