Die drei binomischen Formeln geben an, wie Klammern mit zwei Gliedern quadriert oder multipliziert werden. Sie sind keine neuen Regeln, sondern das Ergebnis des Ausmultiplizierens – nur so oft gebraucht, dass man sie auswendig kennt.
Bedeutung (Warum?)
Ohne die binomischen Formeln lässt sich später keine quadratische Ergänzung durchführen und kein Scheitelpunkt bestimmen. Sie sind das Werkzeug, das Algebra und Funktionen verbindet.
Nutzen (Wozu?)
Sie ersparen Rechenschritte und – wichtiger – sie funktionieren in beide Richtungen. Von links nach rechts gelesen multiplizieren sie aus, von rechts nach links faktorisieren sie.
Funktionsweise (Wie?)
Die erste Formel zeigt, warum das mittlere Glied doppelt vorkommt: Das Quadrat über \(a+b\) besteht aus dem Quadrat \(a^2\), dem Quadrat \(b^2\) und zwei gleichen Rechtecken mit den Seiten \(a\) und \(b\).
\[ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \qquad (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \qquad (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \]
Das Quadrat über (a+b) besteht aus a², zwei Rechtecken ab und b²
Praxisbeispiel (Wo?)
Ein quadratisches Grundstück mit der Seite \(a\) wird an zwei Seiten um \(b\) Meter erweitert. Die neue Fläche ist nicht \(a^2+b^2\), sondern \(a^2+2ab+b^2\) – die beiden Randstreifen werden gern vergessen. Bei \(a=20\) und \(b=5\) fehlen so 200 m².
Merksatz
Das mittlere Glied ist immer doppelt. Wer \((a+b)^2=a^2+b^2\) schreibt, vergisst zwei Rechtecke.