Extremwertaufgabe

Bedeutung (Warum?)

Eine Extremwertaufgabe (Optimierungsaufgabe) sucht den größten oder kleinsten Wert einer Größe – etwa den größten Flächeninhalt oder das kleinste Material – unter einer Nebenbedingung.

Nutzen (Wozu?)

Sie verbindet Sachkontext mit Differentialrechnung und ist ein klassischer Prüfungsbaustein. Thema u. a. in Mathe 11./12. Klasse (FOS/BOS) und Mathe 10./11. Klasse (Gymnasium).

Funktionsweise (Wie?)

Vorgehen in vier Schritten: (1) Hauptbedingung für die zu optimierende Größe aufstellen, (2) Nebenbedingung nach einer Variablen auflösen und einsetzen, sodass eine Zielfunktion mit nur einer Variablen entsteht, (3) mit \( f'(x)=0\) die Extremstelle bestimmen, (4) mit \( f“(x)\) Art (Maximum/Minimum) prüfen und die Randwerte des Definitionsbereichs beachten.

Praxisbeispiel (Wo?)

Ein Rechteck hat den Umfang \( 20\). Gesucht ist der größte Flächeninhalt. Hauptbedingung \( A=x\cdot y\), Nebenbedingung \( 2(x+y)=20\Rightarrow y=10-x\). Zielfunktion:

\( A(x)=x\,(10-x)=10x-x^{2},\quad 0

Mit \( A'(x)=10-2x=0\) folgt \( x=5\); wegen \( A“(x)=-2<0\) liegt ein Maximum vor. Dann ist \( y=5\) und

\( A_{\max}=5\cdot 5=25. \)

Das flächengrößte Rechteck bei festem Umfang ist also ein Quadrat.

Merksatz

Hauptbedingung, Nebenbedingung einsetzen, Zielfunktion mit einer Variablen, dann \( f’=0\) und mit \( f“\) die Art prüfen.