Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der die Variable nur in der ersten Potenz vorkommt – also ohne \(x^2\), ohne Wurzel und nicht im Nenner.
Bedeutung (Warum?)
Lineare Gleichungen haben genau eine Lösung, keine oder unendlich viele. Mehr Fälle gibt es nicht, und das macht sie berechenbar.
Nutzen (Wozu?)
Sie beschreiben alles, was gleichmäßig wächst: Grundpreis plus Verbrauch, Fixkosten plus Stückkosten, Startguthaben plus monatliche Sparrate.
Funktionsweise (Wie?)
Alle Glieder mit \(x\) auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere, dann durch den Vorfaktor teilen.
\[ ax + b = c \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{c-b}{a}\quad (a \neq 0) \]
Praxisbeispiel (Wo?)
Zwei Handytarife: einer kostet 10,00 € Grundgebühr plus 0,10 € je Minute, der andere 25,00 € pauschal. Aus \(10+0{,}10x = 25\) folgt \(x=150\) – ab 150 Minuten im Monat ist die Pauschale günstiger.
Merksatz
Kein \(x^2\), keine Wurzel, kein \(x\) im Nenner – dann ist sie linear.