Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel. Bei nach oben geöffneten Parabeln ist er der Tiefpunkt, bei nach unten geöffneten der Hochpunkt.
Bedeutung (Warum?)
Der Scheitelpunkt ist in Anwendungen die Antwort auf jede Optimierungsfrage: Bei welchem Preis ist der Gewinn am größten? Bei welcher Stückzahl sind die Kosten je Stück am kleinsten?
Nutzen (Wozu?)
Aus der Scheitelform lässt er sich direkt ablesen. Aus der allgemeinen Form wird er berechnet oder über die quadratische Ergänzung hergeleitet.
Funktionsweise (Wie?)
Die \(x\)-Koordinate liegt genau zwischen den Nullstellen, also bei \(x_S=-\frac{b}{2a}\). Dieser Wert, in die Funktion eingesetzt, ergibt \(y_S\).
\[ x_S = -\frac{b}{2a} \qquad y_S = f(x_S) \]
Praxisbeispiel (Wo?)
Für \(E(p)=-2p^2+120p\) ist \(p_S=-\frac{120}{-4}=30\) und \(E(30)=1800\). Der Erlös ist bei einem Preis von 30,00 € am größten und beträgt dann 1.800,00 €.
Merksatz
x-Koordinate ist minus b durch zweimal a. Dann einsetzen.