Bedeutung (Warum?)
Die Produktregel sagt, wie man eine Funktion ableitet, die als Produkt zweier Funktionen \( u(x)\cdot v(x)\) geschrieben ist. Einfach beide Faktoren getrennt abzuleiten wäre falsch.
Nutzen (Wozu?)
Überall dort, wo zwei \( x\)-abhängige Terme multipliziert werden – etwa \( x^{2}\cdot e^{x}\) oder \( x\cdot\sin x\). Thema u. a. in Mathe 11./12. Klasse (FOS/BOS) und Mathe 10./11. Klasse (Gymnasium).
Funktionsweise (Wie?)
Für \( f(x)=u(x)\cdot v(x)\) gilt
\( f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x). \)
Man leitet also den ersten Faktor ab und lässt den zweiten stehen, addiert den ersten Faktor mal Ableitung des zweiten.
Praxisbeispiel (Wo?)
Gegeben \( f(x)=x\cdot e^{x},\ D=\mathbb{R}\). Mit \( u=x,\ u’=1\) und \( v=e^{x},\ v’=e^{x}\):
\( f'(x)=1\cdot e^{x}+x\cdot e^{x}=(1+x)\,e^{x}. \)
Merksatz
„\( u’\) mal \( v\) plus \( u\) mal \( v’\).“ Erst den einen ableiten, dann den anderen – und beides addieren.