Bedeutung (Warum?)
Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen in einem Punkt berührt und dort dieselbe Steigung besitzt wie die Funktion. Sie ist die beste geradlinige Annäherung an den Graphen in diesem Punkt.
Nutzen (Wozu?)
Die Tangentensteigung ist die momentane Änderungsrate \( f'(x_0)\). Tangenten braucht man beim Aufstellen von Geradengleichungen an Kurven, beim Näherungsrechnen und als Grundlage der Differentialrechnung. Thema u. a. in Mathe 11. Klasse (FOS/BOS) und Mathe 10. Klasse (Gymnasium).
Funktionsweise (Wie?)
Die Tangente an \( f\) an der Stelle \( x_0\) hat die Gleichung
\( t(x)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0). \)
Man berechnet also die Steigung \( f'(x_0)\) und den Berührpunkt \( \big(x_0\mid f(x_0)\big)\) und setzt beides ein.
Praxisbeispiel (Wo?)
Gegeben \( f(x)=x^{2},\ D=\mathbb{R}\), gesucht die Tangente bei \( x_0=2\). Mit \( f'(x)=2x\) folgt \( f'(2)=4\) und \( f(2)=4\):
\( t(x)=4\,(x-2)+4=4x-4. \)
Merksatz
Tangente = Berührgerade mit \( m=f'(x_0)\). Formel: \( t(x)=f'(x_0)\,(x-x_0)+f(x_0)\) – Steigung mal \((x-x_0)\), plus \( y\)-Wert.