Bedeutung (Warum?)
Eine Stammfunktion \( F\) zu einer Funktion \( f\) ist eine Funktion, deren Ableitung gerade \( f\) ergibt: \( F'(x)=f(x)\). Sie ist also die „Umkehrung“ des Ableitens.
Nutzen (Wozu?)
Stammfunktionen sind die Grundlage der Integralrechnung: Mit ihnen berechnet man bestimmte Integrale und Flächeninhalte. Thema u. a. in Mathe 12. Klasse (FOS/BOS) und Mathe 11./12. Klasse (Gymnasium).
Funktionsweise (Wie?)
Für Potenzen gilt die Potenzregel rückwärts: den Exponenten um \( 1\) erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen.
\( \int x^{n}\,dx=\dfrac{1}{n+1}\,x^{n+1}+C\quad(n\neq -1) \)
Das \( +C\) (Integrationskonstante) steht, weil eine additive Konstante beim Ableiten wegfällt – es gibt also unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um \( C\) unterscheiden.
Praxisbeispiel (Wo?)
Zu \( f(x)=3x^{2}+2x,\ D=\mathbb{R}\) ist eine Stammfunktion
\( F(x)=x^{3}+x^{2}+C. \)
Probe durch Ableiten: \( F'(x)=3x^{2}+2x=f(x)\). ✓
Merksatz
Stammfunktion = Rückwärts-Ableiten. Exponent \( +1\), dann durch den neuen Exponenten teilen, \( +C\) nicht vergessen. Kontrolle immer durch Ableiten.