Die Diskriminante ist der Ausdruck unter der Wurzel der Lösungsformel: \(D = b^2-4ac\). Ihr Vorzeichen entscheidet über die Anzahl der Lösungen.
Bedeutung (Warum?)
Mit einer einzigen Rechnung ist geklärt, ob es zwei, eine oder keine Lösung gibt. Das erspart eine vollständige Rechnung, die am Ende an einer negativen Wurzel scheitert.
Nutzen (Wozu?)
Geometrisch beschreibt die Diskriminante die Lage der Parabel zur x-Achse: zwei Schnittpunkte, ein Berührpunkt oder gar keiner.
Funktionsweise (Wie?)
Ist \(D>0\), gibt es zwei Lösungen. Ist \(D=0\), gibt es genau eine – die Parabel berührt die x-Achse im Scheitelpunkt. Ist \(D<0\), gibt es in \(\Ree\) keine Lösung.
\[ D = b^2 – 4ac \qquad D>0:\ \text{zwei} \qquad D=0:\ \text{eine} \qquad D<0:\ \text{keine} \]
Praxisbeispiel (Wo?)
Bei \(x^2-6x+9=0\) ist \(D=36-36=0\) – genau eine Lösung, \(x=3\). Die Parabel berührt die x-Achse dort, statt sie zu schneiden.
Merksatz
Erst D berechnen. Ist D negativ, gibt es nichts zu rechnen.