Die quadratische Ergänzung ist das Verfahren, mit dem die allgemeine Form in die Scheitelform umgeformt wird. Sie nutzt die binomischen Formeln rückwärts.
Bedeutung (Warum?)
Das Verfahren zeigt, woher die Formel für den Scheitelpunkt kommt. Wer es einmal verstanden hat, muss sich weniger merken.
Nutzen (Wozu?)
Sie ist der Weg zur Scheitelform, wenn kein Taschenrechner erlaubt ist – und gelegentlich ausdrücklich verlangt.
Funktionsweise (Wie?)
Zuerst wird \(a\) ausgeklammert. Dann wird die Hälfte des Koeffizienten von \(x\) quadriert, addiert und gleich wieder subtrahiert. Die ersten drei Glieder bilden dann ein Quadrat.
\[ x^2+6x+5 = \underbrace{x^2+6x+9}_{(x+3)^2}-9+5 = (x+3)^2-4 \]
Praxisbeispiel (Wo?)
\(f(x)=x^2+6x+5\) wird zu \(f(x)=(x+3)^2-4\). Der Scheitelpunkt ist \(S(-3|-4)\) – ablesbar, ohne eine Formel zu benutzen.
Merksatz
Die Hälfte von b quadrieren, addieren und wieder abziehen.