Mit der quadratischen Ergänzung schreibt man \(x^2+bx\) als vollständiges Quadrat: \(\left(x+\tfrac{b}{2}\right)^2-\left(\tfrac{b}{2}\right)^2\).
Bedeutung (Warum?)
Man ergänzt \(\left(\tfrac{b}{2}\right)^2\) zum vollständigen Quadrat und zieht denselben Wert wieder ab. Beispiel: \(x^2+6x=(x+3)^2-9\).
Nutzen (Wozu?)
Damit bringt man eine quadratische Funktion in die Scheitelpunktform und liest den Scheitelpunkt direkt ab; auch quadratische Gleichungen lassen sich so lösen.
Funktionsweise (Wie?)
Man nimmt die Hälfte von \(b\), quadriert sie, addiert sie und subtrahiert sie sofort wieder.
Praxisbeispiel (Wo?)
Bringe \(y=x^2+6x\) in die Scheitelpunktform.
Rechnung
Die Hälfte von 6 ist 3; 3² = 9 ergänzen und abziehen.
Ergebnis: \(S(-3\mid -9)\)
Merksatz
Quadratische Ergänzung: \(\left(\tfrac{b}{2}\right)^2\) addieren und abziehen \(\Rightarrow\) Scheitelpunktform \((x+\tfrac{b}{2})^2-(\tfrac{b}{2})^2\); Scheitel direkt ablesbar.
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