Die Quadratwurzel \(\sqrt{a}\) ist die nichtnegative Zahl, die quadriert \(a\) ergibt. Sie ist die Umkehrung des Quadrierens.
Bedeutung (Warum?)
Die Quadratwurzel taucht überall auf, wo aus einer Fläche eine Länge wird – bei quadratischen Grundstücken, beim Satz des Pythagoras und beim Lösen quadratischer Gleichungen.
Nutzen (Wozu?)
Ohne Wurzel gibt es keine Lösungsformel und damit keine Lösung quadratischer Gleichungen.
Funktionsweise (Wie?)
Unter der Wurzel steht der Radikand. Er darf nicht negativ sein, denn kein Quadrat einer reellen Zahl ist negativ. Deshalb hat \(\sqrt{-4}\) in \(\Ree\) keine Lösung.
\[ \sqrt{a} = b \quad\Longleftrightarrow\quad b^2 = a \;\text{ und }\; b \ge 0\qquad \sqrt{a\cdot b} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \]
Praxisbeispiel (Wo?)
Ein quadratisches Grundstück hat 625 m². Seine Seitenlänge ist \(\sqrt{625}=25\) m. Für den Zaun braucht man dann \(4\cdot 25=100\) m.
Merksatz
Die Wurzel ist nie negativ. Die Gleichung \(x^2=25\) hat dagegen zwei Lösungen: \(+5\) und \(-5\).