Kurzfassung
Die Ableitung \(f'(x)\) gibt die Steigung des Graphen an jeder Stelle an. Welche Ableitungsregel man braucht, hängt vom Funktionstyp ab.
Die Ableitung \(f'(x)\) gibt die Steigung des Graphen an jeder Stelle an. Welche Ableitungsregel man braucht, hängt vom Funktionstyp ab.
Bedeutung (Warum?)
Die Ableitung beschreibt die momentane Änderungsrate einer Funktion, anschaulich die Steigung der Tangente. Sie entsteht als Grenzwert des Differenzenquotienten:
\( f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \)
Nutzen (Wozu?)
Mit ihr bestimmt man Steigungen, Tangenten, Extremstellen und das Monotonieverhalten (Analysis, FOS/BOS 12).
Funktionsweise (Wie?)
Je nach Bauart der Funktion gilt eine andere Regel:
- Potenz-/Summenregel (ganzrationale Funktionen): \(\big(x^{n}\big)’=n\,x^{\,n-1}\), summandenweise.
- Produktregel: \(\big(u\cdot v\big)’=u’v+u\,v’\).
- Quotientenregel (gebrochenrationale Funktionen): \(\left(\tfrac{u}{v}\right)’=\tfrac{u’v-u\,v‘}{v^{2}}\).
- Kettenregel (verknüpfte Funktionen): \(\big(f(g(x))\big)’=f'(g(x))\cdot g'(x)\).
- Spezielle Ableitungen: \(\big(e^{x}\big)’=e^{x}\) und \(\big(\ln x\big)’=\tfrac{1}{x}\) (e-Funktion, ln-Funktion).
Hinweis
\(f'(x)=0\) ist nur die notwendige Bedingung für eine Extremstelle. Ob Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, entscheidet erst die zweite Ableitung \(f“\).
\(f'(x)=0\) ist nur die notwendige Bedingung für eine Extremstelle. Ob Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, entscheidet erst die zweite Ableitung \(f“\).
Praxisbeispiel (Wo?)
Ganzrational (Potenzregel):
\( f(x)=x^{3}-3x^{2}+2 \ \Rightarrow\ f'(x)=3x^{2}-6x \)
Gebrochenrational (Quotientenregel):
\( f(x)=\tfrac{x}{x+1} \ \Rightarrow\ f'(x)=\tfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^{2}}=\tfrac{1}{(x+1)^{2}} \)
e-Funktion (Kettenregel):
\( f(x)=e^{2x} \ \Rightarrow\ f'(x)=e^{2x}\cdot 2=2\,e^{2x} \)
ln-Funktion (Kettenregel):
\( f(x)=\ln(3x) \ \Rightarrow\ f'(x)=\tfrac{1}{3x}\cdot 3=\tfrac{1}{x} \)
Merksatz
Erst den Funktionstyp erkennen, dann die passende Regel wählen: Potenzregel (Polynome), Produkt-/Quotientenregel (Produkte/Brüche), Kettenregel (Verkettungen); \(e^{x}\) bleibt \(e^{x}\), \(\ln x\) wird \(\tfrac{1}{x}\).
Selbst üben
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