Der Ortsvektor eines Punktes zeigt vom Ursprung \(O\) zu diesem Punkt. Seine Koordinaten sind die Punktkoordinaten – in der Ebene mit zwei, im Raum mit drei Einträgen.
Bedeutung (Warum?)
Jeder Punkt lässt sich als Ortsvektor schreiben und damit berechnen. Aus zwei Ortsvektoren erhält man den Verbindungsvektor „Spitze minus Fuß“: \(\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\).
In der Ebene (Realschule / Mittelschule / Wirtschaftsschule)
Ein Punkt \(P(3\mid2)\) hat den Ortsvektor \(\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\).
Beispiel (ausgerechnet): Verbindungsvektor von \(A(1\mid2)\) nach \(B(4\mid3)\):
\(\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-1\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\)
Im Raum (Sekundarstufe II: FOS/BOS und Gymnasium)
Im Koordinatensystem hat \(P(2\mid2\mid2)\) den Ortsvektor \(\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\). Man erreicht \(P\), indem man \(2\) in \(x_1\)-, \(2\) in \(x_2\)- und \(2\) in \(x_3\)-Richtung geht.
Beispiel (ausgerechnet): Verbindungsvektor von \(A(1\mid0\mid2)\) nach \(B(3\mid1\mid4)\):
\(\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-1\\1-0\\4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\)
Nutzen (Wozu?)
Ortsvektoren sind die Grundlage für Geraden- und Ebenengleichungen sowie für Mittel- und Schwerpunkte.
Merksatz
Ortsvektor = Punktkoordinaten; Verbindungsvektor = Spitze minus Fuß (komponentenweise).
Der Aufgabengenerator ist eine Übungsplattform mit vielen Themen. Ist das gesuchte Thema in der Liste vorhanden, lassen sich dort beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg erzeugen. Zum Aufgabengenerator.