Bedeutung (Warum?)
Mit Integralen bestimmt man den Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse – oder zwischen zwei Graphen. Weil ein Integral Flächen unter der x-Achse negativ zählt, muss man sorgfältig vorgehen.
Nutzen (Wozu?)
Klassische Prüfungsaufgabe der Analysis. Thema u. a. in Mathe 12. Klasse (FOS/BOS) und Mathe 11./12. Klasse (Gymnasium).
Funktionsweise (Wie?)
Vorgehen: (1) Nullstellen von \( f\) bestimmen – sie sind die Integrationsgrenzen. (2) Liegt der Graph auf dem ganzen Intervall auf einer Seite, ist
\( A=\left|\int_{a}^{b} f(x)\,dx\right|. \)
(3) Wechselt der Graph das Vorzeichen, wird an jeder Nullstelle geteilt und über die Beträge summiert.
Praxisbeispiel (Wo?)
Die Parabel \( f(x)=-x^{2}+2x,\ D=\mathbb{R}\) hat die Nullstellen \( x_1=0\) und \( x_2=2\) und liegt dazwischen oberhalb der x-Achse. Mit \( F(x)=-\dfrac{1}{3}x^{3}+x^{2}\):
\( A=\int_{0}^{2}\left(-x^{2}+2x\right)dx=\Big[-\tfrac{1}{3}x^{3}+x^{2}\Big]_{0}^{2}=\dfrac{4}{3}\ \text{FE}. \)
Merksatz
Erst Nullstellen (= Grenzen), dann integrieren. Fläche ist immer positiv – deshalb Betrag nehmen und bei Vorzeichenwechsel abschnittsweise rechnen.