Kurzfassung
Die Änderungsrate gibt an, wie stark sich eine Größe ändert. Die mittlere Änderungsrate ist die Sekantensteigung, die momentane die Ableitung.
Die Änderungsrate gibt an, wie stark sich eine Größe ändert. Die mittlere Änderungsrate ist die Sekantensteigung, die momentane die Ableitung.
Bedeutung (Warum?)
Zwischen zwei Punkten beschreibt die mittlere Änderungsrate den durchschnittlichen Anstieg (Steigung der Sekante). Lässt man die Punkte zusammenrücken, erhält man die momentane Änderungsrate an einer Stelle – die Steigung der Tangente.
Nutzen (Wozu?)
Man beschreibt damit Geschwindigkeiten, Wachstum oder Abnahme – etwa wie schnell ein Bestand zu einem bestimmten Zeitpunkt wächst.
Funktionsweise (Wie?)
Mittlere Änderungsrate auf \([a;b]\) und momentane Änderungsrate an \(x_0\):
\(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\qquad\text{bzw.}\qquad f'(x_0)\)
Praxisbeispiel (Wo?)
Für \(f(x)=x^2\) ist die momentane Änderungsrate an \(x_0=3\) gleich \(f'(3)=2\cdot3=6\).
Merksatz
Mittlere Änderungsrate = Sekantensteigung, momentane = Ableitung.
Selbst üben
Der Aufgabengenerator ist eine Übungsplattform mit vielen Themen. Ist das gesuchte Thema in der Liste vorhanden, lassen sich dort beliebig viele Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg erzeugen. Zum Aufgabengenerator.
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