Bedeutung (Warum?)Das bestimmte Integral \( \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) ist eine Zahl.
Bedeutung (Warum?)
Das bestimmte Integral \( \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) ist eine Zahl. Anschaulich ist es die (vorzeichenbehaftete) Bilanz der Fläche zwischen dem Graphen von \( f\) und der x-Achse von \( a\) bis \( b\).
Nutzen (Wozu?)
Damit berechnet man Flächeninhalte, Mittelwerte und in Anwendungen z. B. zurückgelegte Strecken aus einer Geschwindigkeit. Thema u. a. in Mathe 12. Klasse (FOS/BOS) und Mathe 11./12. Klasse (Gymnasium).
Funktionsweise (Wie?)
Über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: eine Stammfunktion \( F\) bilden, obere und untere Grenze einsetzen und subtrahieren.
\( \int_{a}^{b} f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_{a}^{b}=F(b)-F(a). \)
Die Konstante \( C\) fällt dabei weg – man braucht sie hier nicht.
Praxisbeispiel (Wo?)
\( \int_{1}^{2}\left(3x^{2}\right)dx\) mit \( F(x)=x^{3}\):
\( \Big[x^{3}\Big]_{1}^{2}=2^{3}-1^{3}=8-1=7. \)
Merksatz
Bestimmtes Integral = Zahl: Stammfunktion bilden, \( F(b)-F(a)\). Vorsicht: unter der x-Achse wird das Integral negativ – für reine Flächen die Nullstellen beachten.
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