Kurzfassung
Jede natürliche Zahl größer als \(1\) lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben – das ist ihre Primfaktorzerlegung.
Jede natürliche Zahl größer als \(1\) lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben – das ist ihre Primfaktorzerlegung.
Bedeutung (Warum?)
Man zerlegt die Zahl schrittweise in kleinste Primteiler, bis nur noch Primzahlen übrig sind. Die Zerlegung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig.
Nutzen (Wozu?)
Mit der Primfaktorzerlegung findet man ggT und kgV, kürzt Brüche vollständig und erkennt Quadrat- und Kubikzahlen.
Funktionsweise (Wie?)
Man teilt fortlaufend durch die kleinste passende Primzahl (\(2, 3, 5, \dots\)), bis \(1\) übrig bleibt.
Praxisbeispiel (Wo?)
Zerlege \(60\) in Primfaktoren.
| Schritt | \(:\) Primzahl | Ergebnis |
|---|---|---|
| 60 | \(:2\) | 30 |
| 30 | \(:2\) | 15 |
| 15 | \(:3\) | 5 |
| 5 | \(:5\) | 1 |
Fortlaufend durch die kleinste Primzahl teilen: \(60=2^2\cdot 3\cdot 5\).
Rechnung — Immer durch die kleinste Primzahl teilen.
\(60=2\cdot 30\)
\(30=2\cdot 15\)
\(15=3\cdot 5\)
\(60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=2^2\cdot 3\cdot 5\)
Ergebnis: \(60=2^2\cdot 3\cdot 5\)
Merksatz
Primfaktorzerlegung: Zahl in ein Produkt von Primzahlen zerlegen (eindeutig). Basis für ggT, kgV und Kürzen.