Vertiefte Kurvendiskussion
Mathematik FOS/BOS 12 · Bayern · Analysis (Technik und Nichttechnik)
In der 11. Jahrgangsstufe haben Sie gelernt, ganzrationale Funktionen vollständig zu untersuchen: Nullstellen, Monotonie, Extrempunkte und Wendepunkte. In der 12. Jahrgangsstufe kommen drei vertiefende Fragestellungen hinzu, die in jeder Abschlussprüfung eine Rolle spielen:
- Absolute Extrempunkte und Randextrempunkte – nicht nur der höchste Punkt in der Umgebung, sondern der höchste Punkt überhaupt.
- Änderungsrate und stärkstes Wachstum – wo wächst eine Größe am schnellsten?
- Zusammenhang der Graphen von f und f′ – vom Funktionsgraphen auf den Ableitungsgraphen schließen und umgekehrt.
Hilfsmittel-Hinweis (Bayern FOS/BOS): Im hilfsmittelfreien Teil (ohne Taschenrechner und ohne Merkhilfe) müssen Ableitungsregeln, einfache Gleichungen und das Skizzieren von Graphen sicher „per Hand“ sitzen. Die frühen Stufen dieser Seite decken genau das ab. Die komplexen Anwendungen (Stufe 4) entsprechen dem Teil mit Hilfsmittel.
1 Absolute Extrempunkte und Randextrempunkte
Stufe 1 · GrundideeLokal ist nicht gleich absolut
Stellen Sie sich das Höhenprofil einer Bergtour vor. Ein lokaler Hochpunkt ist ein Gipfel, der höher ist als seine unmittelbare Umgebung – es kann aber weiter hinten noch höhere Gipfel geben. Der absolute Hochpunkt ist der höchste Punkt der gesamten Tour. Genauso unterscheidet man bei Funktionen zwischen lokalen und absoluten Extrempunkten.
Absoluter Hoch- bzw. Tiefpunkt.
Der Punkt \(H\left(x_H \mid f(x_H)\right)\) heißt absoluter Hochpunkt von \(G_f\), wenn für alle \(x \in D_f\) gilt: \(f(x_H) \ge f(x)\).
Der Punkt \(T\left(x_T \mid f(x_T)\right)\) heißt absoluter Tiefpunkt von \(G_f\), wenn für alle \(x \in D_f\) gilt: \(f(x_T) \le f(x)\).
Der zugehörige \(y\)-Wert bildet dann die untere bzw. obere Grenze der Wertemenge.
Stufe 2 · MusterbeispielHat der Graph auf \(D_f=\mathbb{R}\) absolute Extrempunkte?
Beispiel A. Gegeben ist \(f(x)=x^2-2x\) mit \(D_f=\mathbb{R}\).
1. Ableitung und notwendige Bedingung. \(f'(x)=2x-2\).
\(f'(x)=0 \;\Leftrightarrow\; 2x-2=0 \;\Leftrightarrow\; x=1\)
2. Art des Extrempunkts. \(f“(x)=2>0\) für alle \(x\), der Graph ist überall linksgekrümmt. Mit \(f(1)=1-2=-1\) folgt der Tiefpunkt \(T(1\mid -1)\).
3. Ist der Tiefpunkt absolut? Die Parabel ist nach oben geöffnet, also \(f(x)\to +\infty\) für \(x\to\pm\infty\). Kein anderer Punkt liegt tiefer – \(T(1\mid -1)\) ist der absolute Tiefpunkt. Einen absoluten Hochpunkt gibt es nicht (die Werte wachsen unbeschränkt). Wertemenge: \(W_f=[-1;\,+\infty[\).
Beispiel B (Gegenbeispiel). \(g(x)=x^3-3x\) mit \(D_g=\mathbb{R}\).
Aus \(g'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)\) folgt \(g'(x)=0\) für \(x=-1\) und \(x=1\). Mit \(g“(x)=6x\) ergeben sich der Hochpunkt \(HP(-1\mid 2)\) und der Tiefpunkt \(TP(1\mid -2)\).
Entscheidend: Wegen \(g(x)\to -\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(g(x)\to +\infty\) für \(x\to+\infty\) gibt es Funktionswerte oberhalb von \(2\) und unterhalb von \(-2\). Die lokalen Extrempunkte sind daher nicht absolut. \(W_g=\mathbb{R}\).
Merke: Eine ganzrationale Funktion ungeraden Grades hat auf \(D_f=\mathbb{R}\) nie absolute Extrempunkte.
Stufe 3 · AusbauRandextrempunkte auf einem abgeschlossenen Intervall
Wird die Definitionsmenge auf ein abgeschlossenes Intervall \([a;\,b]\) eingeschränkt, müssen auch die Ränder \(a\) und \(b\) als Kandidaten für Extrempunkte geprüft werden. Solche Punkte heißen Randextrempunkte.
Beispiel C. Dieselbe Funktion \(f(x)=x^2-2x\), nun aber mit \(D_f=[-1;\,3]\).
1. Innere Extrempunkte. Wie oben: \(f'(x)=0\) bei \(x=1\); Tiefpunkt \(T(1\mid -1)\), liegt in \(D_f\).
2. Ränder prüfen. \(f(-1)=(-1)^2-2\cdot(-1)=3\) und \(f(3)=9-6=3\).
3. Vergleich aller Kandidaten. Am linken und rechten Rand liegen die Randhochpunkte \(R_1(-1\mid 3)\) und \(R_2(3\mid 3)\); sie sind zugleich absolute Hochpunkte. \(T(1\mid -1)\) ist der absolute Tiefpunkt. Wertemenge: \(W_f=[-1;\,3]\).
Randextrempunkte. Ist die Definitionsmenge einer ganzrationalen Funktion \(f\) auf ein abgeschlossenes Intervall \([a;\,b]\) mit \(a,b\in\mathbb{R}\) eingeschränkt, so können an den Rändern \(a\) und \(b\) Randextrempunkte auftreten. Zur Bestimmung absoluter Extrempunkte vergleicht man die Funktionswerte aller inneren Extrempunkte mit den Funktionswerten an den beiden Rändern.
2 Änderungsrate und stärkstes Wachstum
Stufe 1 · GrundideeDie Ableitung als Änderungsrate
Der Wert \(f'(x)\) gibt die lokale Änderungsrate an, also die Steigung des Graphen an der Stelle \(x\). \(f'(x)>0\) bedeutet Zunahme, \(f'(x)<0\) Abnahme. Die spannende Frage lautet nun: Wo nehmen die Funktionswerte am stärksten zu?
Stelle stärksten Wachstums. Die Stelle stärkster Zunahme bzw. Abnahme der Funktionswerte \(f(x)\) ist eine Extremstelle der Ableitung \(f’\) – und damit eine Wendepunktstelle von \(f\).
- Maximum von \(f’\) mit \(f’>0\) → Stelle stärksten Wachstums von \(f\)
- Minimum von \(f’\) mit \(f‘<0\) → Stelle stärkster Abnahme von \(f\)
Rechnerisch: Nullstellen von \(f“\) bestimmen (Kandidaten für Wendestellen), dann die Art prüfen.
Stufe 4 · PrüfungsniveauAnwendung: wann wächst der Bestand am schnellsten?
Beispiel D (mit Hilfsmittel). Der Bestand in einem Behälter wird für \(t\in[0;\,5]\) (in Stunden) modelliert durch \(f(t)=-\tfrac{1}{3}t^{3}+2t^{2}\) (in Litern). Bestimmen Sie den Zeitpunkt der stärksten Zunahme.
1. Ableitungen. \(f'(t)=-t^2+4t\) (= momentane Zunahmerate), \(f“(t)=-2t+4\).
2. Wachstumsbereich. \(f'(t)=-t^2+4t=-t(t-4)>0\) für \(0 3. Maximale Zunahmerate. \(f“(t)=0 \Leftrightarrow t=2\). Da \(f’\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, liegt bei \(t=2\) das Maximum von \(f’\). Die Zunahmerate beträgt dort \(f'(2)=-4+8=4\) Liter pro Stunde. 4. Antwort. Nach \(t=2\) Stunden wächst der Bestand am stärksten. Dieser Punkt ist zugleich die Wendestelle von \(f\): \(W(2\mid \tfrac{16}{3})\approx W(2\mid 5{,}3)\).
Nicht verwechseln: Der größte Funktionswert (absoluter Hochpunkt, hier bei \(t=4\)) ist etwas anderes als die stärkste Zunahme (Maximum der Rate, hier bei \(t=2\)).
3 Zusammenhang der Graphen von f und f′
Stufe 1 · GrundideeDie Übersetzungstabelle
Wenn Sie den Graphen von \(f\) kennen, können Sie den Graphen von \(f’\) skizzieren – und umgekehrt. Es gilt immer der folgende Zusammenhang:
| Graph von \(f\) | Graph von \(f’\) |
|---|---|
| \(f\) steigt (streng monoton wachsend) | \(f'(x)>0\) – oberhalb der \(x\)-Achse |
| \(f\) fällt (streng monoton fallend) | \(f'(x)<0\) – unterhalb der \(x\)-Achse |
| Hoch- oder Tiefpunkt von \(f\) | Nullstelle von \(f’\) mit Vorzeichenwechsel |
| Wendepunkt von \(f\) | Hoch- oder Tiefpunkt von \(f’\) |
| \(f\) linksgekrümmt | \(f’\) steigt |
| \(f\) rechtsgekrümmt | \(f’\) fällt |
Stufe 3 · AusbauBeispiel: von f auf f′ schließen
Beispiel E. Gegeben ist \(f(x)=\tfrac{1}{3}x^{3}-x\) (dunkelgrün). Wir lesen die Eigenschaften von \(f\) ab und erhalten daraus \(f’\) (hellgrün).
- \(f\) hat einen Hochpunkt bei \(x=-1\) und einen Tiefpunkt bei \(x=1\) → dort Nullstellen von \(f’\).
- \(f\) fällt zwischen \(x=-1\) und \(x=1\) → dort ist \(f'(x)<0\) (Graph unterhalb der \(x\)-Achse).
- \(f\) hat einen Wendepunkt bei \(x=0\) (stärkste Abnahme) → dort liegt der Tiefpunkt von \(f’\).
Zur Kontrolle: \(f'(x)=x^{2}-1\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen bei \(\pm 1\) und Scheitel (Tiefpunkt) bei \(x=0\) – genau wie abgelesen.
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
„Waagerechte Tangente \((f'(x)=0)\) bedeutet immer einen Extrempunkt.“
✓ Richtig
Nur mit Vorzeichenwechsel von \(f’\). Ohne Wechsel liegt ein Terrassenpunkt vor (Wendepunkt mit waagerechter Tangente).
✗ Falsch
Auf \([a;b]\) nur die inneren Extrempunkte bestimmen und den höchsten davon zum absoluten Hochpunkt erklären.
✓ Richtig
Immer auch die Randwerte \(f(a)\) und \(f(b)\) berechnen und alle Kandidaten vergleichen.
✗ Falsch
„Stärkstes Wachstum ist dort, wo \(f\) am größten ist.“
✓ Richtig
Stärkstes Wachstum ist dort, wo \(f’\) maximal ist – also an einer Wendestelle von \(f\).
Auf einen Blick
- Absolut vs. lokal: Ein absoluter Extrempunkt ist höher/tiefer als alle anderen Punkte, nicht nur die in der Umgebung.
- Randextrempunkte: Auf \([a;b]\) immer die Randwerte \(f(a)\), \(f(b)\) mitprüfen.
- Stärkstes Wachstum: Maximum von \(f’\) an einer Wendestelle von \(f\).
- f ↔ f′: Extrempunkt von \(f\) ↔ Nullstelle von \(f’\); Wendepunkt von \(f\) ↔ Extrempunkt von \(f’\).
Jetzt üben
Trainieren Sie absolute Extrempunkte, Randextrempunkte und den Zusammenhang von \(f\) und \(f’\) mit automatisch erzeugten Aufgaben – passgenau für die FOS/BOS 12 Bayern.