Mathematik Wirtschaftsschule Bayern · Klasse 10 · Lernbereich „Raum und Form“ (LehrplanPLUS) · BY
Körpergeometrie: Zusammengesetzte Körper in der Prüfung
In der Abschlussprüfung sind Körper meist zusammengesetzt: ein Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel, eine Pyramide auf einem Quader. Sie zerlegen den Körper, berechnen die Teile und setzen sie zusammen – oft mit Pythagoras für fehlende Höhen.
- Die wichtigsten Formeln
- Zusammengesetzte Körper zerlegen
- Fehlende Höhen mit Pythagoras
- Typische Fehler
Die wichtigsten Formeln
\( \text{Zylinder: } V=r^2\pi h \qquad \text{Kegel: } V=\tfrac{1}{3}r^2\pi h \)
\( \text{Kugel: } V=\tfrac{4}{3}r^3\pi \qquad \text{Pyramide: } V=\tfrac{1}{3}a^2 h \)
Zusammengesetzte Körper zerlegen
Strategie: Körper in bekannte Teile zerlegen, jeden einzeln berechnen, dann addieren (oder subtrahieren bei Aushöhlungen).
Musterbeispiel
Zylinder (\( r=3 \), \( h=10 \)) mit aufgesetzter Halbkugel (\( r=3 \)):
\( V_1=3^2\pi\cdot 10\approx 282,7 \)
\( V_2=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{4}{3}\cdot 3^3\pi\approx 56,5 \)
\( V\approx 339,2\,\text{cm}^3 \)
Fehlende Höhen mit Pythagoras
Bei Pyramide und Kegel braucht man oft die seitliche Höhe \( h_s \) oder die Mantellinie \( s \) – berechnet mit Pythagoras aus Radius/halber Grundkante und Höhe.
Typische Fehler
✗ Falsch:
Bei der Halbkugel das Volumen der ganzen Kugel genommen.
✓ Richtig:
Halbkugel = \( \frac{1}{2} \) der Kugel: \( \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}r^3\pi \).
Tipp: „Halb“ nicht vergessen zu halbieren.
✗ Falsch:
Bei Kegel/Pyramide den Faktor \( \frac{1}{3} \) vergessen.
✓ Richtig:
Spitze Körper: immer \( \frac{1}{3} \).
Tipp: Alles, was spitz zuläuft, mal ⅓.
Weiterlernen
✐ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Berechnen Sie zusammengesetzte Körper – mit Skizze und Lösungsweg, auf Abschlussprüfungsniveau der Wirtschaftsschule Klasse 10.