Mathematik Wirtschaftsschule Bayern · Klasse 8 · Lernbereich „Raum und Form“ (LehrplanPLUS) · BY
Geometrie: Zylinder, Kegel und Kugel
Runde Körper begegnen Ihnen überall: Dosen, Eistüten, Bälle. Sie berechnen Volumen und Oberfläche – wichtig für Materialbedarf, Füllmengen und viele Prüfungsaufgaben.
1. Der Zylinder
Ein Zylinder hat zwei kreisförmige Deckflächen und einen Mantel. Volumen und Oberfläche:
\( V=r^2\pi\cdot h \qquad O=2\cdot r^2\pi + 2r\pi\cdot h \)
Musterbeispiel
Dose mit \( r=4\,\text{cm} \), \( h=10\,\text{cm} \).
\( V=4^2\cdot\pi\cdot 10 = 16\pi\cdot 10 \approx 502,7\,\text{cm}^3 \)
2. Der Kegel
Ein Kegel läuft spitz zu. Die Mantellinie \( s \) berechnet man mit Pythagoras aus \( r \) und \( h \):
\( V=\dfrac{1}{3}\cdot r^2\pi\cdot h \qquad s=\sqrt{r^2+h^2} \qquad M=r\pi\cdot s \)
3. Die Kugel
Für die Kugel mit Radius \( r \):
\( V=\dfrac{4}{3}\cdot r^3\pi \qquad O=4\cdot r^2\pi \)
4. So wird es gebraucht
In der Prüfung sind Körper oft zusammengesetzt (z. B. Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel, oder eine Pyramide). Man rechnet die Teile einzeln und addiert. Auch Füllmengen und Materialkosten sind typische Aufgaben.
5. Typische Fehler
✗ Falsch:
Beim Kegel oder der Pyramide den Faktor \( \frac{1}{3} \) vergessen.
✓ Richtig:
Spitze Körper haben immer \( \frac{1}{3} \) des „vollen“ Körpers: \( V=\frac{1}{3}Gh \).
Tipp: Merken: alles was spitz zuläuft → mal ⅓.
✗ Falsch:
Bei der Kugel \( r^2 \) statt \( r^3 \) im Volumen.
✓ Richtig:
Volumen ist dreidimensional → \( r^3 \). Nur die Oberfläche hat \( r^2 \).
Tipp: Volumen = Raum = hoch 3, Oberfläche = Fläche = hoch 2.
Weiterlernen
- Körpergeometrie (Klasse 10) – zusammengesetzte Körper auf Prüfungsniveau.
- Pythagoras – für die Mantellinie des Kegels.
✐ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Berechnen Sie Volumen und Oberfläche von Zylinder, Kegel und Kugel – mit Skizze und Lösungsweg, passend zur Wirtschaftsschule Klasse 8.