Mathematik Wirtschaftsschule Bayern · Klasse 9 · Lernbereich „Raum und Form“ (LehrplanPLUS) · BY
Satz des Pythagoras: Seiten im rechtwinkligen Dreieck
Der Satz des Pythagoras verbindet die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Mit ihm berechnen Sie eine fehlende Seite, wenn zwei bekannt sind – eine der häufigsten Aufgaben in Geometrie und Anwendung.
- Der Satz des Pythagoras
- Hypotenuse berechnen
- Kathete berechnen
- Anwendung: Strecken im Alltag
- So wird es gebraucht
- Typische Fehler
1. Der Satz des Pythagoras
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Das Quadrat über der längsten Seite (Hypotenuse \( c \)) ist gleich der Summe der Quadrate über den beiden kürzeren Seiten (Katheten \( a \) und \( b \)).
\( c^2 = a^2 + b^2 \)
2. Hypotenuse berechnen
Sind beide Katheten bekannt, berechnen Sie die Hypotenuse direkt.
Musterbeispiel
Gegeben: \( a = 3\,\text{cm} \), \( b = 4\,\text{cm} \). Gesucht: \( c \).
\( c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
\( c = \sqrt{25} = 5\,\text{cm} \)
Gegenprobe: \( 5^2 = 25 = 9 + 16 \) ✓
3. Kathete berechnen
Ist die Hypotenuse und eine Kathete bekannt, stellen Sie die Formel um:
\( a^2 = c^2 – b^2 \qquad a = \sqrt{c^2 – b^2} \)
Musterbeispiel
Gegeben: \( c = 13\,\text{cm} \), \( b = 5\,\text{cm} \). Gesucht: \( a \).
\( a^2 = c^2 – b^2 = 13^2 – 5^2 = 169 – 25 = 144 \)
\( a = \sqrt{144} = 12\,\text{cm} \)
4. Anwendung: Strecken im Alltag
Der Satz hilft bei Diagonalen, Leitern, Rampen oder Entfernungen. Beispiel: Eine 5 m lange Leiter steht 3 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie?
Leiter = Hypotenuse \( c=5 \), Abstand = Kathete \( b=3 \), Höhe = Kathete \( a \).
\( a = \sqrt{5^2 – 3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4\,\text{m} \)
5. So wird es gebraucht
In der Abschlussprüfung taucht Pythagoras oft versteckt in Anwendungsaufgaben auf: als Diagonale einer Fläche, als Höhe eines Körpers (z. B. Pyramide) oder als schräge Strecke in einer technischen Skizze. Erkennen Sie das rechtwinklige Dreieck, ist der Rest reine Rechnung.
6. Typische Fehler
✗ Falsch:
Die falsche Seite als Hypotenuse gewählt (z. B. eine Kathete).
✓ Richtig:
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite und liegt gegenüber dem rechten Winkel.
Tipp: Zuerst den rechten Winkel suchen, die Seite gegenüber ist \( c \).
✗ Falsch:
Beim Berechnen einer Kathete addiert statt subtrahiert.
✓ Richtig:
Kathete: \( a=\sqrt{c^2-b^2} \). Nur die Hypotenuse entsteht durch Addition.
Tipp: Frage: Suche ich die längste Seite? Ja → addieren, nein → subtrahieren.
✗ Falsch:
Am Ende die Wurzel vergessen – \( c^2 \) statt \( c \) angegeben.
✓ Richtig:
Nach \( c^2=25 \) immer noch \( \sqrt{\;} \) ziehen: \( c=5 \).
Tipp: Das Ergebnis muss eine Länge (in cm/m) sein, kein Quadrat.
Weiterlernen
- Strahlensätze – ähnliche Dreiecke und Proportionen.
- Quadratwurzeln (Klasse 8) – die Grundlage zum Auflösen.
✐ Jetzt selbst üben – im Aufgabengenerator
Berechnen Sie fehlende Seiten im rechtwinkligen Dreieck – mit Skizze und Lösungsweg, passend zur Wirtschaftsschule Klasse 9.