Lagebeziehungen
Mathematik FOS/BOS · Bayern · Analytische Geometrie
Wie liegen zwei Geraden, eine Gerade und eine Ebene oder zwei Ebenen im Raum zueinander? Jede Frage löst man nach einem festen Ablaufschema – und erhält dabei ggf. den Schnittpunkt bzw. die Schnittgerade.
1 Gerade – Gerade
Zwei Geraden im Raum können identisch, echt parallel, schneidend oder windschief sein.
Ablaufschema.
- Sind die Richtungsvektoren kollinear (Vielfache)?
- Ja → Punktprobe: liegt ein Punkt von \(g\) auf \(h\)? erfüllt → identisch, sonst → echt parallel.
- Nein → Gleichsetzen \(g=h\) (LGS): lösbar → schneidend (Schnittpunkt), unlösbar → windschief.
Stufe 3 · BeispielSchnittpunkt zweier Geraden
Beispiel A. \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}+\lambda\,\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\), \(\ h:\ \vec x=\begin{pmatrix}2\\4\\5\end{pmatrix}+\mu\,\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\).
1. Richtungsvektoren kollinear?
\(\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\) sind keine Vielfachen → also schneidend oder windschief.
2. Gleichsetzen \(g=h\)
| \(1+\lambda=2\ \Rightarrow\ \lambda=1\) | (I) |
| \(3=4+\mu\ \Rightarrow\ \mu=-1\) | (II) |
| \(3+\lambda=5+\mu:\ 3+1=5-1\ \Rightarrow\ 4=4\) | (III) ✓ erfüllt |
3. Ergebnis
Alle drei Zeilen passen → die Geraden schneiden sich. Schnittpunkt (\(\lambda=1\) in \(g\)): \(\vec x=\begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}\) → \(S(2\mid 3\mid 4)\).
2 Gerade – Ebene
Eine Gerade kann echt parallel zur Ebene liegen, in der Ebene liegen oder sie in einem Durchstoßpunkt schneiden.
Schnellster Weg: Ebene in Koordinatenform. Setzen Sie die Geradengleichung komponentenweise in \(a x_1+b x_2+c x_3=d\) ein. Es entsteht eine Gleichung in \(\lambda\):
- keine Lösung (Widerspruch) → echt parallel
- genau eine Lösung → Durchstoßpunkt
- unendlich viele (wahre Aussage) → Gerade liegt in der Ebene
Stufe 3-4 · BeispielDurchstoßpunkt
Beispiel B. \(g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\,\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}\), Ebene \(E:\ x_1+x_2+x_3=6\).
| einsetzen: \((1+\lambda)+(1+\lambda)+(2\lambda)=6\) | |
| \(2+4\lambda=6\ \Rightarrow\ \lambda=1\) | genau eine Lösung |
| \(\vec x=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\) |
Durchstoßpunkt: \(D(2\mid 2\mid 2)\). Probe: \(2+2+2=6\) ✓.
3 Ebene – Ebene
Zwei Ebenen sind identisch, echt parallel oder schneiden sich in einer Schnittgerade. Am schnellsten vergleicht man die Normalenvektoren (Koordinatenform):
| Bedingung (Normalenvektoren) | Lage |
|---|---|
| \(\vec n_1,\vec n_2\) kollinear, Gleichungen Vielfache | identisch |
| \(\vec n_1,\vec n_2\) kollinear, Gleichungen nicht Vielfache | echt parallel |
| \(\vec n_1,\vec n_2\) nicht kollinear | Schnittgerade |
Beispiel C. \(E:\ x_1+x_2+x_3=6\), \(F:\ 2x_1+2x_2+2x_3=6\), \(G:\ x_1-x_2=0\).
| \(E\) und \(F\): \(\vec n_F=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=2\,\vec n_E\) → kollinear; aber \(F:\ x_1+x_2+x_3=3\neq 6\) | → echt parallel |
| \(E\) und \(G\): \(\vec n_G=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\) nicht kollinear zu \(\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\) | → Schnittgerade |
Typische Fehler in der Prüfung
✗ Falsch
„Kein Schnittpunkt“ automatisch als parallel deuten.
✓ Richtig
Ohne kollineare Richtungsvektoren und ohne Schnittpunkt sind Geraden windschief (nur im Raum).
✗ Falsch
Bei kollinearen Richtungsvektoren die Punktprobe vergessen.
✓ Richtig
Kollinear allein heißt nur parallel oder identisch – die Punktprobe entscheidet.
✗ Falsch
Gerade/Ebene über die Parameterform mit großem LGS lösen.
✓ Richtig
Ebene in Koordinatenform bringen und die Gerade einsetzen – eine Gleichung genügt.
✗ Falsch
Bei Ebene/Ebene sofort ein LGS aufstellen.
✓ Richtig
Zuerst die Normalenvektoren vergleichen – das entscheidet oft schon über parallel/identisch.
Auf einen Blick
- Gerade/Gerade: Richtungsvektoren kollinear? → Punktprobe (identisch/parallel); sonst Gleichsetzen (schneidend/windschief).
- Gerade/Ebene: Gerade in Koordinatenform einsetzen → keine/eine/unendlich Lösungen = parallel/Durchstoßpunkt/in der Ebene.
- Ebene/Ebene: Normalenvektoren vergleichen → identisch/parallel/Schnittgerade.
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